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发布时间:2024-03-07 21:09:27
斐波那契数列斐波那契数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 通项公式
(如上,又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。
注:此时(n>=3,n∈N*)
公式推导
方法一:利用特征方程(线性代数解法)
线性递推数列的特征方程为:
解得
则F(n=C1*X1^n + C2*X2^n。
C1*X1^2 + C2*X2^2。
解得C1=√5/5,C2=-√5/5。
∴F(n=(√5/5*{[(1+√5/2]^n - [(1-√5/2]^n}(√5表示根号5)。
方法二:待定系数法构造等比数列1(初等代数解法)
设常数r,s。
使得F(n-r*F(n-1=s*[F(n-1-r*F(n-2]。
则r+s=1, -rs=1。
n≥3时,有。
F(n-r*F(n-1=s*[F(n-1-r*F(n-2]。
F(n-1-r*F(n-2=s*[F(n-2-r*F(n-3]。
F(n-2-r*F(n-3=s*[F(n-3-r*F(n-4]。
……
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子,得:
F(n-r*F(n-1=[s^(n-2]*[F⑵-r*F⑴]。
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