_角平分线的性质和判定(包含答案)

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角平分线的性质和判定




1.一．角平分线
（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交
、于点、；（2）分别以点
、
为圆心，
角平分线的尺规作图
大于于点射线
；
长为半径画弧，相交
（3）连接点
就是
和并延长，则的角平分线

角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等


角平分线的判定
到角的两边距离相等的点在角的平分线上

若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上

一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定
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二．重难点：角平分线的性质和判定
三．易错点：
1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．
题模一：尺规作图
例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB的边OA上任意两点．

（1）尺规作图：作AOB的平分线OC；
（2）在AOB的平分线OC上求作一点P，使PMPN的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）
例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）
如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．


题模二：性质
例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）

A.8
B.6C.4D.2
例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．
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例1.2.3如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，求ABC的面积．
题模三：判定
例1.3.1如图，在四边形ABCD中，AB⊥CB于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC，且点E为BC的中点，连接AE．

（1）求证：AE平分∠BAD；（2）求∠AED的度数．
例1.3.2以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．
D
A
E
D
F
O
B
C
B
O
C
A
E


随练1.1尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）
如图，两条公路EA和FB相交于点O，在AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路EA、FB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．
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随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
1
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
2
③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）

A.65°
B.60°C.55°D.45°
随练1.3如图，已知ABC的周长是20，OB和OC分别平分ABC和ACB，ODBC于点D，且OD3，则ABC的面积是（）

A.20
B.25C.30D.35
随练1.4如图，AB∥CD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD8，则点P到BC的距离是（）

A.8
B.6C.4D.2
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随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点
随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．
A
BC
P

拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD
（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．


拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）

A.四处
B.三处C.两处D.一处
拓展3在ABC中，ABAC，ABC70
（1）用直尺和圆规作ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC________．
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拓展4到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点
拓展5如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分ABC，交CD于点E，BC6，DE2，则BCE的面积等于________．


拓展6如图，ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO:SBCO:SCAO等于（）

A.1:1:1
B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5
拓展7如图，已知：BD是ABC的平分线，DEBC于E，SABC36cm2；，AB12cm，BC18cm，则DE的长为________cm．


拓展8如图，△ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC交AF的延长线于F．
（1）说明BECF的理由；（2）如果ABa，ACb，求AE、BE的长．
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A
EB
G
CF

D

拓展9如图，△ABC和△AED为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BE、CD交于点O，连接AO．求证：
（1）△BAE≌△CAD；（2）OA平分∠BOD．



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答案解析角平分线

题模一：尺规作图例1.1.1
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB的平分线．

（2）如图2，作点M关于OC的对称点M，连接MN交OC于点P，

则点P即为所求．例1.1.2
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【答案】
【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，
1
（2）再分别以点C、点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于一点E，
2
（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，
1
（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，
2
（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．


题模二：性质例1.2.1【答案】C
【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．

例1.2.2
【答案】4
【解析】连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
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∴OR＝OQ，OR＝OP，
∴由勾股定理得：AR2＝OA2－OR2，AQ2＝AO2－OQ2，∴AR＝AQ，
同理BR＝BP，CQ＝CP，即O在∠ACB角平分线上，
设BP＝BR＝x，CP＝CQ＝y，AQ＝AR＝z，yz9
则xy8xz7x＝3，y＝5，z＝4，
∴BP＝3，CQ＝5，AR＝4，BP＋CQ－AR＝3＋5－4＝4．

例1.2.3
【答案】31.5
【解析】∵O点为△ABC中角平分线的交点，∴O点到三边距离相等．
1
∴S△ABCS△OABS△OBCS△OAC(ABBCAC331.5
2

题模三：判定例1.3.1
【答案】（1）见解析（2）90°
【解析】（1）过点E作EF⊥AD于点F，图略．∵DE平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥AD，∴EC＝EF，又EC＝EB，∴EF＝EB，又EF⊥AD，EB⊥AB，∴点E在∠BAD的平分线上，∴AE平分∠BAD．（2）∠AED＝90°．例1.3.2
【答案】见解析．
【解析】因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAEBAD60，则BAEDAC，所以BAE≌DAC，
则有ABEADC，AEBACD，BEDC．
在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADF≌ABO，ACF≌AEO．
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进而由AFAO得AFOAOF；
由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE．随练1.1
【答案】
【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．

P和P1都是所求的点．
随练1.2【答案】A
【解析】解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
1
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
2
∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
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解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．

随练1.3【答案】C
【解析】如图，连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，

QOB、OC分别平分ABC和ACB，OEOFOD3，
QABC的周长是20，ODBC于D，且OD3，
1111
SABCABOEBCODACOF(ABBCAC3
2222
1
20330．2
随练1.4【答案】C
【解析】过点P作PEBC于E，QAB∥CD，PAAB，PDCD，
QBP和CP分别平分ABC和DCB，PAPE，PDPE，PEPAPD，QPAPDAD8，PAPD4，PE4．
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随练1.5【答案】D
【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6
【答案】见解析
【解析】过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PEPF．同理可证PFPG．所以PGPE，
又PE⊥AB，PG⊥AC，所以P在∠A的平分线上．
A
BE
F
CG

P
拓展1
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）如图1，射线CP为所求作的图形．（2）∵CP是∠ACB的平分线∴∠DCE=∠BCE．在△CDE和△CBE中，CD=CB
DCE=BCE，CE=CE
∴△DCE≌△BCE（SAS），
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∴BE=DE．


拓展2【答案】A
【解析】满足条件的有：

（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3
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【答案】（1）
（2）75
【解析】（1）如图所示，BD即为所求；

（2）Q在ABC中，ABAC，ABC70，A1802ABC18014040，QBD是ABC的平分线，
11
ABDABC7035，
22
QBDC是ABD的外角，
BDCAABD403575．拓展4【答案】D
【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5
【答案】6
【解析】作EFBC于F，
QBE平分ABC，EFBC，EDAB，EFDE2，
BCE的面积BCEF6．
12
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拓展6【答案】C
【解析】过点O作ODAC于D，OEAB于E，OFBC于F，

Q点O是内心，OEOFOD，
111
SABO:SBCO:SCAOgABgOE:gBCgOF:gACgODAB:BC:AC2:3:4．
222

拓展7
【答案】2.4
【解析】如图，过点D作DFAB于F，QBD是ABC的平分线，DEBC，DEDF，
SABCSABDSBCD，11
ABgDFBCgDE，2211
12gDE18gDE，2215DE，
QABC36cm2，15DE36，解得DE2.4cm．

拓展8
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【答案】（1）见解析；（2）BE
abab
，AE22
【解析】（1）连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，∴DBDC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DEDF．AEDBEDACDDCF90在Rt△DBE和Rt△DCF中DBDC

DEDF
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BECF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．ADAD

DEDF
∴AEAF．
∵ACCFAF，∴AEACCF．∵AEABBE，∴ACCFABBE∵ABa，ACb，∴bBEaBE，
ab
∴BE，
2
abab
∴AEABBEa．
22
A
EB
G
CF

D
拓展9
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】（1）过点A分别作AF⊥BE于F，AG⊥CD于G．如图所示：
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∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，
AB在△BAE和△CAD中，
ACBAECAD，

AEAD∴△BAE≌△CAD（SAS），
（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，
∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，
∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．
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