2016年福建省宁德市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂）

1．2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a+a2=a3 B．a2•a3=a6 C．a5÷a3=a2 D．（a2）3=a5

3．根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．0.47×108 B．4.7×107 C．47×107 D．4.7×106

4．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．下列分解因式正确的是（　　）

A．﹣ma﹣m=﹣m（a﹣1） B．a2﹣1=（a﹣1）2 C．a2﹣6a+9=（a﹣3）2 D．a2+3a+9=（a+3）2

6．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

7．如图，⊙O的半径为3，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOB=30°，将扇形AOB绕点O顺时针旋转120°后恰好与扇形COD重合，则的长为（　　）

A． B． C．2π D．

8．如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B．四条边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形

9．如图，用十字形方框从日历表中框出5个数，已知这5个数的和为5a﹣5，a是方框①，②，③，④中的一个数，则数a所在的方框是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

10．已知三个数a、b、c的平均数是0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案用黑色签字笔填入答题卡的相应位置）

11．如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B=　　°．

12．一次艺术节演出，5位评委给某个节目打分如下：9.3分，8.9分，8.7分，9.3分，9.1分，则该节目得分的中位数是　　分．

13．方程=的解是　　．

14．已知点A（1，y1），B（2，y2）是如图所示的反比例函数y=图象上两点，则y1　　y2（填“＞”，“＜”或“=”）．

15．如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为　　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共9小题，满分86分．请将解答过程用黑色签字笔写在答题卡的相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

17．计算： +（π﹣3）0﹣2cos30°．

18．解不等式﹣1≤，并把解集在数轴上表示出来．

19．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．

20．（8分）某市第三中学组织学生参加生命安全知识网络测试．小明对九年2班全体学生的测试成绩进行统计，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．

根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求九年2班学生的人数；

（2）写出频数分布表中a，b的值；

（3）已知该市共有80 000名中学生参加这次安全知识测试，若规定80分以上（含80分）为优秀，估计该市本次测试成绩达到优秀的人数；

（4）小明通过该市教育网站搜索发现，全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有56 320人．请你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因．

21．如图，在边长为1的正方形组成的6×5方格中，点A，B都在格点上．

（1）在给定的方格中将线段AB平移到CD，使得四边形ABDC是矩形，且点C，D都落在格点上．画出四边形ABDC，并叙述线段AB的平移过程；

（2）在方格中画出△ACD关于直线AD对称的△AED；

（3）直接写出AB与DE的交点P到线段BE的距离．

22．解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”

题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．问甲、乙两人各带了多少钱？

23．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠CDB=45°．过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若cos∠CED=，BD=6，求⊙O的直径．

24．已知正方形ABCD，点E在直线CD上．

（1）若F是直线BC上一点，且AF⊥AE，求证：AF=AE；（请利用图1所给的图形加以证明）

（2）写出（1）中命题的逆命题，并画出一个图形说明该逆命题是假命题；

（3）若点G在直线BC上，且AG平分∠BAE，探索线段BG、DE、AE之间的数量关系，并说明理由．

25．如图1，已知抛物线l1：y=﹣x2+x+3与y轴交于点A，过点A的直线l2：y=kx+b与抛物线l1交于另一点B，点A，B到直线x=2的距离相等．

（1）求直线l2的表达式；

（2）将直线l2向下平移个单位，平移后的直线l3与抛物线l1交于点C，D（如图2），判断直线x=2是否平分线段CD，并说明理由；

（3）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）和直线y=3x+m有两个交点M，N，对于任意满足条件的m，线段MN都能被直线x=h平分，请直接写出h与a，b之间的数量关系．

2016年福建省宁德市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂）

1．2的相反数是（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义求解即可．

【解答】解：2的相反数为：﹣2．

故选：B．

【点评】本题考查了相反数的知识，属于基础题，掌握相反数的定义是解题的关键．

2．下列运算正确的是（　　）

A．a+a2=a3 B．a2•a3=a6 C．a5÷a3=a2 D．（a2）3=a5

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分析得出答案．

【解答】解：A、a+a2无法计算，故此选项错误；

B、a2•a3=a5，故此选项错误；

C、a5÷a3=a2，正确；

D、（a2）3=a6，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确应用相关运算法则是解题关键．

3．根据央视报道，去年我国汽车尾气排放总量大约为47 000 000吨．将47 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．0.47×108 B．4.7×107 C．47×107 D．4.7×106

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：47 000 000用科学记数法表示为4.7×107，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【考点】概率公式．

【分析】根据概率公式结合取出红球的概率即可求出袋中球的总个数．

【解答】解：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．

故选D．

【点评】本题考查了概率公式，根据概率公式算出球的总个数是解题的关键．

5．下列分解因式正确的是（　　）

A．﹣ma﹣m=﹣m（a﹣1） B．a2﹣1=（a﹣1）2 C．a2﹣6a+9=（a﹣3）2 D．a2+3a+9=（a+3）2

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】利用提取公因式或者公式法即可求出答案．

【解答】解：（A）原式=﹣m（a+1），故A错误；

（B）原式=（a+1）（a﹣1），故B错误；

（C）原式=（a﹣3）2，故C正确；

（D）该多项式不能因式分解，故D错误，

故选（C）

【点评】本题考查因式分解，注意应用公式法时，要严格按照公式进行分解．

6．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．

【解答】解：原几何体的主视图是：

．

故取走的正方体是①．

故选：A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

7．如图，⊙O的半径为3，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOB=30°，将扇形AOB绕点O顺时针旋转120°后恰好与扇形COD重合，则的长为（　　）

A． B． C．2π D．

【考点】弧长的计算．

【分析】根据题意可得∠AOD=150°，然后再利用弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）进行计算．

【解答】解：∵∠AOB=30°，将扇形AOB绕点O顺时针旋转120°后恰好与扇形COD重合，

∴∠AOD=120°+30°=150°，

∴==，

故选：B．

【点评】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．

8．如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B．四条边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形

【考点】菱形的判定．

【分析】根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可．

【解答】解：如图所示；

∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC，

∴AB=BD，AC=CD，

∵AB=AC，

∴AB=BD=CD=AC，

∴四边形ABDC是菱形；

故选B．

【点评】本题考查了菱形的判定和翻折变换的应用，解此题的关键是求出AB=BD=CD=AC，题目比较典型，难度不大．

9．如图，用十字形方框从日历表中框出5个数，已知这5个数的和为5a﹣5，a是方框①，②，③，④中的一个数，则数a所在的方框是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】计算题；应用题；一次方程（组）及应用．

【分析】先假定一个方框中的数为a，再根据日历上的数据规律写出其他方框中的数，相加是否得5a﹣5，即可作出判断．

【解答】解：解法一：设中间位置的数为A，则①位置数为：A﹣7，④位置为：A+7，左②位置为：A﹣1，右③位置为：A+1，其和为5A=5a﹣5，

∴a=A+1，

即a为③位置的数；

解法二：A、若方框①表示的数为a，则②a+6，③a+8，④a+14，A：a+7，

则这5个数的和：a+a+8+a+6+a+14+a+7=5a+35，

所以方框①表示的数不是a，

B、若方框②表示的数为a，则①a﹣6，③a+2，④a+8，A：a+1，

则这5个数的和：a+a﹣6+a+2+a+8+a+1=5a+5，

所以方框②表示的数不是a，

C、若方框③表示的数为a，则①a﹣8，②a﹣2，④a+6，A：a﹣1，

则这5个数的和：a+a﹣8+a﹣2+a+6+a﹣1=5a﹣5，

所以方框③表示的数是a，

D、若方框④表示的数为a，则①a﹣14，③a﹣6，②a﹣8，A：a﹣7，

则这5个数的和：a+a﹣14+a﹣6+a﹣8+a﹣7=5a﹣35，

所以方框④表示的数不是a，

故选C．

【点评】本题是日历上的数，明确日历上的规律是关键：上下两数的差为7，左右两数的差为1；解答时要细心表示方框中的数，容易书写错误．

10．已知三个数a、b、c的平均数是0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】数轴．

【专题】数形结合．

【分析】根据平均数为0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．

【解答】解：因为三个数a、b、c的平均数是0，

所以三个数中一定有一个正数和一个负数，若第三个数为负数，则两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离．

故选D．

【点评】本题考查了数轴：记住数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案用黑色签字笔填入答题卡的相应位置）

11．如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，则∠B=　37　°．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形的对应角相等，可得答案．

【解答】解：由△ADE∽△ABC，若∠ADE=37°，得

∠B=∠ADE=37°，

故答案为：37．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题关键．

12．一次艺术节演出，5位评委给某个节目打分如下：9.3分，8.9分，8.7分，9.3分，9.1分，则该节目得分的中位数是　9.1　分．

【考点】中位数．

【分析】先把数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解．

【解答】解：数据按从小到大排列为：8.7分，8.9分，9.1分，9.3分，9.3分的中位数为9.1分．

故答案为9.1．

【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13．方程=的解是　x=1　．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，据此求出方程=的解是多少即可．

【解答】解：去分母得：x+1=2x，

解得x=1，

经检验x=1是分式方程的解，

∴方程=的解是x=1．

故答案为：x=1．

【点评】此题主要考查了解分式方程，要熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

14．已知点A（1，y1），B（2，y2）是如图所示的反比例函数y=图象上两点，则y1　＞　y2（填“＞”，“＜”或“=”）．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】先确定k的值为2，得在每一分支上，y随x 的增大而减小，通过判断x的大小来确定y的值．

【解答】解：∵k=2＞0，

∴在每一分支上，y随x 的增大而减小，

∵1＜2，

∴y1＞y2，

故答案为：＞．

【点评】本题考查了反比例函数的增减性，当k＞0时，在每一分支上，y随x 的增大而减小；当k＜0时，在每一分支上，y随x 的增大而增大；本题也可以将x的值代入计算求出对应y的值来判断大小关系．

15．如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1的大小为　108　°．

【考点】多边形内角与外角．

【专题】计算题；正多边形与圆．

【分析】所求角即为正五边形的内角，利用多边形的内角和定理求出即可．

【解答】解：∵正五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，

∴∠1=540°÷5=108°，

故答案为：108

【点评】此题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和定理是解本题的关键．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是　≤l＜13．　．

【考点】旋转的性质；勾股定理；图形的剪拼．

【分析】如图，连接DE，作AH⊥BC于H．首先证明GF=DE=，要求四边形MNFG周长的取值范围，只要求出MG的最大值和最小值即可．

【解答】解：如图，连接DE，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，

∴BC==5，

∵•AB•AC=•BC•AH，

∴AH=，

∵AD=DB，AE=EC，

∴DE∥CB，DE=BC=，

∵DG∥EF，

∴四边形DGFE是平行四边形，

∴GF=DE=，

由题意MN∥BC，GM∥FN，

∴四边形MNFG是平行四边形，

∴当MG=NF=AH时，可得四边形MNFG周长的最小值=2×+2×=，

当G与B重合时可得周长的最大值为13，

∵G不与B重合，

∴≤l＜13．

故答案为≤l＜13．

【点评】本题考查旋转变换、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共9小题，满分86分．请将解答过程用黑色签字笔写在答题卡的相应位置．作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）

17．计算： +（π﹣3）0﹣2cos30°．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】根据零指数幂的意义和特殊角的三角函数值得到原式=2+1﹣2×，然后进行乘法运算后合并即可．

【解答】解：原式=2+1﹣2×

=2+1﹣

=+1．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

18．解不等式﹣1≤，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】利用解一元一次不等式的方法解出不等式的解集，再将其表示在数轴上即可得出结论．

【解答】解：不等式两边同时×6得：3x﹣6≤14﹣2x，

移项得：5x≤20，

解得：x≤4．

将其在数轴上表示出来如图所示．

【点评】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．

19．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理SAS证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．

【解答】证明：∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAC．

在△ADE和△BAC中，，

∴△ADE≌△BAC（SAS），

∴AE=BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

20．某市第三中学组织学生参加生命安全知识网络测试．小明对九年2班全体学生的测试成绩进行统计，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．

根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求九年2班学生的人数；

（2）写出频数分布表中a，b的值；

（3）已知该市共有80 000名中学生参加这次安全知识测试，若规定80分以上（含80分）为优秀，估计该市本次测试成绩达到优秀的人数；

（4）小明通过该市教育网站搜索发现，全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有56 320人．请你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．

【分析】（1）根据数据总数=代入计算，求出九年2班学生的人数；

（2）a是D组的频数=百分比×总数；b是E组的频数=50﹣各组频数；

（3）先计算优秀的百分比，再与80000相乘即可；

（4）取的样本不足以代表全市总中学的总体情况．

【解答】解：（1）17÷34%=50（人），

答：九年2班学生的人数为50人；

（2）a=24%×50=12，

b=50﹣2﹣5﹣17﹣12=14，

（3）E：14÷50=28%，

（28%+24%）×80000=52×800=41600（人），

答：估计该市本次测试成绩达到优秀的人数为41600人；

（4）全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有56 320人；而样本中估计该市本次测试成绩达到优秀的人数为41600人，原因是：小明对第三中学九年2班全体学生的测试成绩取的样本不足以代表全市总中学的总体情况，所以会出现较大偏差．

【点评】此题考查了数据的收集与整理，根据频数分布表和扇形统计图可以将大量数据分类，结果清晰，一目了然地表达出来，熟练掌握公式是做好本题的关键：数据总数=，各组频数和=总数据；属于基础题，比较简单．

21．如图，在边长为1的正方形组成的6×5方格中，点A，B都在格点上．

（1）在给定的方格中将线段AB平移到CD，使得四边形ABDC是矩形，且点C，D都落在格点上．画出四边形ABDC，并叙述线段AB的平移过程；

（2）在方格中画出△ACD关于直线AD对称的△AED；

（3）直接写出AB与DE的交点P到线段BE的距离．

【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．

【分析】（1）、（2）根据题意作出图象；

（3）建立坐标系，求出直线AB、DE所在直线解析式，再求出两直线交点坐标可得．

【解答】解：（1）如图所示，将线段AB沿AC方向平移即可；

（2）如图所示，△AED即为所求；

（3）建立如图所示坐标系，

设AB所在直线解析式为y=kx+b，

将A（0，2）、B（4，0）代入，得：，

解得：，

∴AB所在直线解析式为y=﹣x+2，

设DE所在直线解析式为y=mx+n，

将点D（5，2）、E（1，0）代入，得：，

解得：，

∴DE所在直线解析式为y=x﹣，

根据题意，，

解得：，

∴点E的坐标为（，），

故AB与DE的交点P到线段BE的距离．

【点评】本题主要考查平移变换和轴对称变换及两直线相交问题，建立坐标系后待定系数求函数解析式是解题的关键．

22．解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”

题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．问甲、乙两人各带了多少钱？

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】设甲原有x元钱，乙原有y元钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=48元，乙的钱+甲所有钱的=48元，据此列方程组，求解即可．

【解答】解：设甲原有x元钱，乙原有y元钱，根据题意，得

，

解得：，

答：甲、乙两人各带了36元和24元钱．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．

23．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠CDB=45°．过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若cos∠CED=，BD=6，求⊙O的直径．

【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）要证CE是⊙O的切线，只要证明∠OCE=90°，根据，∠CDB=45°，CE∥AB可以求得∠OCE=90°，从而可以解答本题；

（2）要求⊙O的直径，根据CE∥AB，cos∠CED=，BD=6，可以求得AB的长，本题得以解决．

【解答】（1）证明：连接BC、CO，如右图所示，

∵AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠CDB=45°，

∴∠COB=2∠CDB=90°，

∵CE∥AB，

∴∠COB+∠OCE=180°，

∴∠OCE=90°，

即CE是⊙O的切线；

（2）连接AD，如右上图所示，

∵CE∥AB，

∴∠CED=∠ABD，

∵cos∠CED=，BD=6，AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，cos∠ABD=，

∴，

∴AB=18，

即⊙O的直径是18．

【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

24．已知正方形ABCD，点E在直线CD上．

（1）若F是直线BC上一点，且AF⊥AE，求证：AF=AE；（请利用图1所给的图形加以证明）

（2）写出（1）中命题的逆命题，并画出一个图形说明该逆命题是假命题；

（3）若点G在直线BC上，且AG平分∠BAE，探索线段BG、DE、AE之间的数量关系，并说明理由．

【考点】四边形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）如图1，利用ASA证明△ABF≌△ADE，可以直接得出AE=AF；

（2）如图2所示，如果AF=AE时，AE与AF不一定垂直；

（3）分三种情况：

①当E在线段CD上时，满足AE=BG+DE，如图3，作辅助线，利用（1）的结论得：△ABF≌△ADE，得AE=AF，DE=BF，再证明AF=FG，利用等量代换和线段的和得出结论．

②当E在CD的延长线上时，满足BG=DE+AE，③当E在DC的延长线上时，满足AE=DE+BG；同理分别得出相应结论．

【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，

∴∠ABF=∠ADC=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF=90°，

∴∠FAB+∠BAE=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴△ABF≌△ADE，

∴AE=AF；

（2）若F是直线BC上一点，且AF=AE，则AF⊥AE；

如图2所示，当AF=AE时，则AF与AE不一定垂直，所以“若F是直线BC上一点，且AF=AE，则AF⊥AE“是假命题；

（3）分三种情况：

①当E在线段CD上时，满足AE=BG+DE，理由是：

如图3，过A作AF⊥AE，与直线CB交于点F，

由（1）得：△ABF≌△ADE，

∴AE=AF，DE=BF，

∴FG=BF+BG=BG+DE，

∵AG平分∠BAE，

∴∠BAG=∠EAG，

∵∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF+∠BAG=∠EAG+∠DAE，

∴∠FAG=∠DAG，

∵AD∥BC，

∴∠DAG=∠AGF，

∴∠AGF=∠FAG，

∴AF=FG，

∴AE=FG=BG+DE．

②当E在CD的延长线上时，满足BG=DE+AE，理由是：

如图4，

过A作AF⊥AE，与直线CB交于点F，

由（1）得：△ABF≌△ADE，

∴AE=AF，DE=BF，∠BAF=∠DAE，

∵AG平分∠BAE，

∴∠BAG=∠EAG，

∴∠BAG﹣∠BAF=∠EAG﹣∠DAE，

∴∠FAG=∠GAD，

∵AD∥BC，

∴∠DAG=∠AGF，

∴∠AGF=∠FAG，

∴AF=FG，

∴AE=FG=AF，

∴BG=BF+FG=DE+AE；

③当E在DC的延长线上时，满足AE=DE+BG，理由是：

如图5，过A作AF⊥AE，与直线CB交于点F，

同理得：△ABF≌△ADE，

∴AE=AF，DE=BF，

∴FG=BF+BG=BG+DE，

∵AG平分∠BAE，

∴∠BAG=∠EAG，

∵∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF+∠BAG=∠EAG+∠DAE

∴∠FAG=∠DAG，

∵AD∥BC，

∴∠DAG=∠AGF，

∴∠AGF=∠FAG，

∴AF=FG，

∴AE=FG=BG+DE．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形的性质和判定；正方形的各边相等且每个角都等于90°，在全等的证明中常利用同角的余角相等证明两个角相等，这一方法要熟练掌握；对于第三问中线段的和差问题，常利用全等三角形对应边相等作等量代换，得出结论．

25．如图1，已知抛物线l1：y=﹣x2+x+3与y轴交于点A，过点A的直线l2：y=kx+b与抛物线l1交于另一点B，点A，B到直线x=2的距离相等．

（1）求直线l2的表达式；

（2）将直线l2向下平移个单位，平移后的直线l3与抛物线l1交于点C，D（如图2），判断直线x=2是否平分线段CD，并说明理由；

（3）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）和直线y=3x+m有两个交点M，N，对于任意满足条件的m，线段MN都能被直线x=h平分，请直接写出h与a，b之间的数量关系．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点A的坐标，再根据点A，B到直线x=2的距离相等，求出点B的横坐标为4，因为B也在抛物线上，当x=4代入抛物线的解析式求出y的值，即是点B的坐标，再利用待定系数法求直线l2的表达式；

（2）根据平移规律写出直线l3表达式，计算出直线l3与直线x=2的交点坐标（2，﹣1.5），根据二次函数和直线l3的解析式列方程组求出C、D两点的坐标，由中点坐标公式计算CD的中点坐标，恰好与直线l3与直线x=2的交点重合，所以直线x=2平分线段CD；

（3）先设M（x1，y1），N（x2，y2），根据M、N是抛物线和直线y=3x+m的交点，列方程组得：x1+x2=﹣，由中点坐标公式列式可得结论．

【解答】解：（1）当x=0时，y=3，

∴A（0，3），

∴A到直线x=2的距离为2，

∵点A，B到直线x=2的距离相等，

∴B到直线x=2的距离为2，

∴B的横坐标为4，

当x=4时，y=﹣×42+4+3=﹣1，

∴B（4，﹣1），

把A（0，3）和B（4，﹣1）代入y=kx+b中得：，

解得：，

∴直线l2的表达式为：y=﹣x+3；

（2）直线x=2平分线段CD，理由是：

直线l3表达式为：y=﹣x+3﹣=﹣x+0.5，

当x=2时，y=﹣2+0.5=﹣1.5，

，

解得：或，

∴C（﹣1，1.5）、D（5，﹣4.5），

∴线段CD的中点坐标为：x==2，y==﹣1.5，

则直线x=2平分线段CD；

（3），

ax2+（b﹣3）x+c﹣m=0，

则x1、x2是此方程的两个根，

x1+x2=﹣，

∵线段MN都能被直线x=h平分，

设线段MN的中点为P，则P的横坐标为h，

根据中点坐标公式得：h==﹣．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题，与方程组相结合，理解上有难度；要熟知中点坐标公式：若A（a，b），B（m，n），则AB的中点坐标x=，y=；两函数图象的交点就是两函数解析式所列方程组的解．

福建省宁德市2016年中考数学试题（word版，含解析）