初中数学竞赛辅导资料

整数的一种分类

甲内容提要

1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，

r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中　　被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)

例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1　

（∵－1＝5（－1）＋4。　　－9＝5（－2）＋1。）

2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝　（k为整数）

m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.

或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝

或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，　　其中5k－2表示除以5余3。

4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 　　（余数1＋1＝2）

②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3　　（余数1×3＝3）

③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4　　（余数22＝4）

以上等式可叙述为：

1 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。　

2 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

3 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是

4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）

5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

乙例题

例1. 今天是星期日，99天后是星期几？

分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数

解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，

29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，

∴99天后是星期一。

又解：设｛A｝表示A除以7的余数，

｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1

例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。

分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式

解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n

∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1

∴43 n+1 除以9的余数是4。

例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数

解：设三个连续整数为n－1,n,n+1

M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)

把整数n按模3，分为三类讨论。

当n=3k （k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)

当n=3k+1时，　M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)

=9(3k+1)(3k2+2k+1)

当n=3k+2时，　M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝9(3k+2)(3k2+4k+2)

∴对任意整数n，M都是9的倍数。

例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解

证明：设整数x按模3分类讨论，

①当x＝3k时，　　　（3k）2－3y2=17, 　　 3(3k2－y2)=17

⑵当x=3k±1时，　　（3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16

由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，

　∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解

例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除

证明：把n按模5分类讨论，

当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1

当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1

＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1

当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1

＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2

综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除

又证：n2+n+1＝n(n+1)+1

∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6

　∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。

丙练习16

1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)

填写表中各数除以3的余数。

2. 　376÷7的余数是＿＿＿＿＿

3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？

4．已知m,n都是正整数，求证：3nm(n2+2)

5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24（a2－1）

（提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1）

6． 把正整数按表中的规律排下去，问100

将排在哪一列？答：＿＿＿

7． 已知正整数n不是4的倍数

求证：1n＋2n＋3n＋4n是10的倍数

8. 任给5个整数，必能从中找到3个，

其和能被10整除，这是为什么？

9对任意两个整数，它们的和、差、积中

至少有一个是3的倍数，试说明理由。

10．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1个，则必有两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。

11.证明　x2+y2-8z=6没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题）

12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止　即

那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数学联赛题）

练习16

2. 1 　3. 日 　4. 设n=3k, 3k+1, 3k-1讨论

6. 100除以8余数为4，故在第五列

7. 可列表说明n=4k+3,　4k+2,　4k+1,　4k时，其和均为0

8.　整数除以3，余数只有0，1，2三种，按5个整数除以3的余数各种情况讨论………

10. 整数除以9余数只有9类，而10个………

11.　∵x2+y2=8z+6, ∴右边除以8，余数 是6，左边整数x,y按除以4的余数，分为4类，4k,4k+1,4k+2,4k－1,　则x2+y2除以8的余数………

8. 6

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