2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学I

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知i为虚数单位，复数311ff12b40231fc899bc314017b31f78.png，则a417be8301ef28c7efb3bba5f799b0f9.png＝ ．

2．已知集合A＝60f268db2e940430309516db8dbda440.png，B＝134439d00315bb712854831f20f57790.png，若Ab6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.pngB中有且只有一个元素，则实数a的值为 ．

3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线e51a70060752b7cf6989485a006bd657.png(a＞0)的一条渐近线方程为1b04f4f791c75e16d9ed59e909c1029c.png，则a＝ ．

5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，乙获胜的概率是7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，则乙不输的概率是 ．

6．右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 ．

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7．“直线l1：41f5772c29273552ccfb92e8e82f76f5.png与直线l2：4a02a82e56d08dcfd45938b78b2b0a94.png平行”是“a＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

8．已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，ace6a7b0ebb46e395dc355886fb8a306.png，1ef03c80bfa2aa1a9f6fafa5961f5875.png，则9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png＝ ．

9．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．

10．已知4a3afcddb25715adb2d80a85d754a334.png，bec822a59a6cee5fe66f6623e4bf3af2.png(cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，31bf0b12546409e15021243132fc7574.png)，则474e328d20b644ce38704a067a2c9ee6.png＝ ．

11．如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．

12．在△ABC中，(670d526e1d72c278654e184c6bb1c928.png)⊥13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png(6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png＞1)，若角A的最大值为81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，则实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png的值是 ．

13．若函数1408a7bb5b3a38343414a4ad6696915e.png(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．

14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.pngOC，则△ABC面积的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足57f589b262641c7859ff4833e52deb06.png．

（1）求A；

（2）已知a＝68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png，B＝c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，求△ABC的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．

（1）证明：AP∥平面EBD ；

（2）证明：BE⊥PC．

17．（本小题满分14分）

某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；

（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png(a＞b＞0)的离心率为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．且经过点(1，bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．

19．（本小题满分16分）

已知函数17dc46ac4db501ee2274f2ca62ae1337.png(m3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngR)的导函数为d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png．

（1）若函数bb311cfa7081e485e23cd976626918f2.png存在极值，求m的取值范围；

（2）设函数ae386c7dd04fd21b3953ad4a60d74565.png（其中e为自然对数的底数），对任意m3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngR，若关于x的不等式7cf76886844478d41e2afe70b49e5662.png在(0，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png)上恒成立，求正整数k的取值集合．

20．（本小题满分16分）

已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png，数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png满足a51093db09194a2b9db6ebfb075e0a59.png，n06517bd134d195fd1ddb40d6dad6a477.png．

（1）若92de8a4525b7f3f41b7f07198eed9916.png，27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png，求数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png的前2n项和525d8244ef524b88a516991cd7ab2e95.png；

（2）若数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列，且对任意n06517bd134d195fd1ddb40d6dad6a477.png，2fd7d2b28840292b8c7f39cb95fb8afb.png恒成立．①当数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png为等差数列时，求证：数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的公差相等；②数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png；若不能，请说明理由．

第II卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 4sin 。

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。

C．选修4—5：不等式选讲

已知正数x，y，z满足x y z t（t为常数），且bcc5b33d88f66bac260b52ae98fa2e2f.png的最小值为7d4d4262d868e3a6f86268bf03aea32c.png，求实数t的值。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;

（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

23．（本小题满分10分）

已知抛物线C:x2 4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k 0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.

（1）求点G的轨迹方程；

（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.

2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）

数学I

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知i为虚数单位，复数311ff12b40231fc899bc314017b31f78.png，则a417be8301ef28c7efb3bba5f799b0f9.png＝ ．

答案：a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png

考点：复数

解析：033dc91857363292843a28a8f5c42060.png．

2．已知集合A＝60f268db2e940430309516db8dbda440.png，B＝134439d00315bb712854831f20f57790.png，若Ab6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.pngB中有且只有一个元素，则实数a的值为 ．

答案：2

考点：集合交集运算

解析：由题意知a﹣1＝1，得a＝2．

3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．

答案：0.08

考点：方差

解析：首先求得40e7f1cdaf35efbe6f8388e856b5da0e.png，

ab398942786287c603a06f90696587f1.png．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线e51a70060752b7cf6989485a006bd657.png(a＞0)的一条渐近线方程为1b04f4f791c75e16d9ed59e909c1029c.png，则a＝ ．

答案：3

考点：双曲线的渐近线

解析：由题意知：d488446333afdb4f8926583b58ad7cde.png，∴a＝3．

5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，乙获胜的概率是7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，则乙不输的概率是 ．

答案：a08f6fd5ee7f72ac3ffbec2809ed9df9.png

考点：概率

解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故P＝7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png＋93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png＝a08f6fd5ee7f72ac3ffbec2809ed9df9.png．

6．右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 ．

答案：6

考点：算法与流程图

解析：第一次：x＝4，y＝16，

第二次：x＝5，y＝32，

第三次：x＝6，y＝64，此时64＞10×6＋3，输出x，故输出x的值为6．

7．“直线l1：41f5772c29273552ccfb92e8e82f76f5.png与直线l2：4a02a82e56d08dcfd45938b78b2b0a94.png平行”是“a＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

答案：必要不充分

考点：两直线平行，充要性

解析：“直线l1：41f5772c29273552ccfb92e8e82f76f5.png与直线l2：4a02a82e56d08dcfd45938b78b2b0a94.png平行”等价于a＝±2，

故“直线l1：41f5772c29273552ccfb92e8e82f76f5.png与直线l2：4a02a82e56d08dcfd45938b78b2b0a94.png平行”是“a＝2”的必要不充分条件．

8．已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，ace6a7b0ebb46e395dc355886fb8a306.png，1ef03c80bfa2aa1a9f6fafa5961f5875.png，则9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png＝ ．

答案：108e23c6ef5f04463c8728bd191c8a48.png

考点：等差数列及其性质

解析：9674f78c86a1bb34bebe98ef6eb1d9f8.png．

9．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．

答案：c056f19f4acbc3fec6f220dab7f1bc48.png

考点：导数与切线，基本不等式

解析：2a4c52f2a7ddf48d3b4f536b422e4d68.png，a49b245cc7691678a85c85399e8062e5.png＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，

故切线方程为：76dc583883da4d88583dcf7096fe0c08.png，即c056f19f4acbc3fec6f220dab7f1bc48.png．

10．已知4a3afcddb25715adb2d80a85d754a334.png，bec822a59a6cee5fe66f6623e4bf3af2.png(cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，31bf0b12546409e15021243132fc7574.png)，则474e328d20b644ce38704a067a2c9ee6.png＝ ．

答案：a23da2da52745871ab493f4ac3866091.png

考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式

解析：∵4a3afcddb25715adb2d80a85d754a334.png，∴1c42a90db9c825843051bf5b1a55833d.png，

则c574003508b1e2a4dbaa13f9c370ad8b.png，87c2d278dded9c2378206de292cf535f.png．

11．如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．

答案：15a638c09d3e9bb4597ce8bf69141c36.png

考点：圆柱与球的体积

解析：3ceffead4330bb0ed83aa38516a5b08d.png．

12．在△ABC中，(670d526e1d72c278654e184c6bb1c928.png)⊥13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png(6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png＞1)，若角A的最大值为81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，则实数6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png的值是 ．

答案：3

考点：平面向量数量积

解析：c358aba44647c2ea1a4879ec93269fc0.png

38263df482a4faf70f39443499b9b0d7.png，解得6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png＝3．

13．若函数1408a7bb5b3a38343414a4ad6696915e.png(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．

答案：(1，d5ca3805201daace5375d3944ccc1e2b.png)

考点：函数与导数综合

解析：由题意知：1408a7bb5b3a38343414a4ad6696915e.png与ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png的图像在(1，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png)上恰有两个交点

考查临界情形：a83971be62d3165ff3d55309f6d5e773.png与ce4c5f6d73b27625159be3b151541788.png切于0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png，

809660430d6435ccc74d2dcd12d25b53.png．

14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.pngOC，则△ABC面积的最大值为 ．

答案：f593b9f6b669fd99c647528de10ec23f.png

考点：向量与解三角形、圆的综合

解析：设5c6a3d3577988d8ce31c21313fc18bc3.png

B，O，E共线，则af1c30c79fb0cdc3ac08dcb48ae7b770.png，解得f80bb9c5ecfb4dbe6a7c2133a37ea671.png，从而O为CD中点，故69999aab950b6f50dd7c230106f7f6b5.png，

在△BOD中，BD＝2，69999aab950b6f50dd7c230106f7f6b5.png，易知O的轨迹为阿圆，其半径f3826a2fb63d0348818cad412a94aef7.png，

故7ca6d52e79b988f61a4fdb315fb67b83.png．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足57f589b262641c7859ff4833e52deb06.png．

（1）求A；

（2）已知a＝68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png，B＝c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，求△ABC的面积．

解：（1）由正弦定理：5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png，得：8c9f25db900651647f48c7d2214e42b8.png

B为△ABC内角，故sinB＞0，所以2ca376d10ea98a879e4563b99b898ce9.png，

若869e0d27aac94499c19f41b563e888d9.png，则573188a706107f7a9bbbecc20e9e5833.png，与6499c6ec4bc9d22339e413562401d1f0.png矛盾，故44119067e103ed05cc17937c8abbbf7b.png，

因此1c1d53dd2d41ea2091334da7f7624583.png，又A为△ABC内角，所以4cc97bbdb0aee2f49df43ce402444569.png；

（2）由正弦定理得：0ee4abd523974925a406ef95b29dcd92.png，861f32b58e52839fc228ba7a2dae4f08.png

故b4d65819ba856c2e630601eff4160b17.png．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．

（1）证明：AP∥平面EBD ；

（2）证明：BE⊥PC．

证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE

因为四边形ABCD为平行四边形

∴O为AC中点，

又E为PC中点，

故AP∥OE，

又AP61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面EBD，OEc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面EBD

所以AP∥平面EBD ；

（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点

所以PC⊥DE

因为平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCDb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.png平面ABCD＝CD，

又BDc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面ABCD，BD⊥CD

∴BD⊥平面PCD

又PCc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面PCD，故PC⊥BD

又BDb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.pngDE＝D，BDc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面BDE，DEc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面BDE

故PC⊥平面BDE

又BEc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面BDE，

所以BE⊥PC．

17．（本小题满分14分）

某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．

（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；

（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．

解：（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系

由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为c7aa00efe62b38b9097f55c9fbab11b5.png

代入点B得：p＝1，故方程为80493bed84f457415b762f6d950fa412.png，x3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png[0，1]；

（2）设P(a9d6a709a5b8f5a71401d03877078b82.png，71b1312b307f921ddcf64f61e8da16e1.png)，t3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png[0，a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，∠FPQ＝dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png

c9b320646fc2bb2421361136c928ca88.png，30e22b0825d17e87528ea750f77629b8.png，93f71320c222eebd9e7754ad7accf57a.png

b9e908684c2a96302c6a6b5998861e5d.png

令549e506685ead6bf386542c1cd621c42.png，902b0819b3390d6f4ba333ac11d63f87.png，则：

cc70d8db5078ead3c312b7c7fd45e046.png

当且仅当d0d641a5ea3e3dbde70053b401550c5a.png即a9e81193486597a1b265ff2e95db2a8c.png，即4ae81bd3f0d74709c1f2484f61a33180.png，即4fae072f34c4bb775ada97c282f91d5c.png时取等

故P(088bceabbf9175a05b5e65b7791edfcd.png，1369b0bfaad8c4dec2cf32f481c32eb5.png)时视角∠EPF最大，

答：P(088bceabbf9175a05b5e65b7791edfcd.png，1369b0bfaad8c4dec2cf32f481c32eb5.png)时，视角∠EPF最大．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png(a＞b＞0)的离心率为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．且经过点(1，bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．

解：（1）设焦距为2c，由题意知：e4de8b2b522a72199b6fb938993503c6.png；

（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：f8fa41d31a970fd75c392b9c4807f35e.png，D(f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png，f7b4a9a272539da17df482a540896746.png)，E(8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，89f771207ffb39300acb88dff8bae241.png)，89f771207ffb39300acb88dff8bae241.png＜0＜f7b4a9a272539da17df482a540896746.png

62f3502794d2298882068399c6b22c26.png①，

f08e422699073d3e75188a4ad913929a.png，

6b437958c2583cd7ba5b4ac5eef67eae.png，d0bc2d16ed1500586e45f622288cd457.png

由①②得：0311ad8ff6ce13deb505078cb808e615.png，08dafafe02574c5f2bc0c35c58498703.png，

代入③得：70de537f0c4a72b18aace02d22605258.png，又0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png，故40d86881631f5e8c9d0211a33764318f.png，

因此，直线l的方程为50bb6bd510d229fcfa5bf6ad564f7d90.png．

19．（本小题满分16分）

已知函数17dc46ac4db501ee2274f2ca62ae1337.png(m3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngR)的导函数为d267392b36cc3ca35802359790ea76e6.png．

（1）若函数bb311cfa7081e485e23cd976626918f2.png存在极值，求m的取值范围；

（2）设函数ae386c7dd04fd21b3953ad4a60d74565.png（其中e为自然对数的底数），对任意m3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngR，若关于x的不等式7cf76886844478d41e2afe70b49e5662.png在(0，47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png)上恒成立，求正整数k的取值集合．

解：（1）因为17dc46ac4db501ee2274f2ca62ae1337.png，所以68b6d3ccc9b0ab11abd7633d3cef48ef.png，

所以dffb050d07cdfd470d4d0384a75c78b7.png，

则52fb5db8ae844b9990c780bc530cab0e.png，

由题意可知e9d76869c10b2a00c9994251c368279c.png，解得68a6c72a889299f78a73a9ce9e2bee94.png；

（2）由（1）可知，68b6d3ccc9b0ab11abd7633d3cef48ef.png，

所以888159ba806c5af255b56594629b4ad4.png

因为5eef76473ecdca642b9ef0dfb15fcf09.png

整理得f3ac4ca904614f2cb9d289b0153d9953.png，

设79ec90525fb03f17e8928d6517f1aa72.png，则44923daa0489836ac83c741517d0796e.png，所以355b078226649f1cf244ee0f59eeaf3a.png单调递增，

又因为c6446ee74a82cb41e8fbe6c7d9b4b258.png，且＋m﹣00de218d83b0860766681a5532be7bab.png，

所以存在，使得78310deb9a50997d1dfc1ecf0b32f283.png，

设25ad7e4c9acf7c71785b3adab58bc981.png，

则436f6b3595346637e2b100fe3c5135b2.png，

设e4b6b4e77e7c389e4fed56549143213c.png，则756c7129e675e6c01eea528a41383ab6.png，b52d3e5703ea5b7a5da484f724fbbd96.png，

所以32047e116c95beb8e1c21d48c23f3c60.png单调递增，因为171526df71d4b3e240cf3d52c7d3a8fd.png，cfa38b912c2b214c7364acddf9c42738.png

所以存在438eed5a8347be680cb1a37c0d37b627.png，使得92af3b444ca75d62ec05027f1973147d.png，即5e4f1bf080ef801417e515c696521cf2.png，

且当f721b50b3fb25a728f8098a9dacf65fa.png时，953f65784fe07f2ec2caf4fc457558f0.png，当86704149dcacb47d0a585113054001b9.png时，faa91402266a1604206d50f74ad79c65.png，

所以5d09697085e8b2d48446837da84789a3.png在538d0643cf81c9eb0f1b0b4e946b9a3e.png上单调递减，在cb1ecec15ab4cf0cd8b3640bb6cda17a.png上单调递增，

所以c7c96c82867498edcc4486f7250c4440.png，

因为438eed5a8347be680cb1a37c0d37b627.png，所以330dc8e2ceb2b9697290a5473e1483e4.png，

又由题意可知062ac4663d5b83f8f8f7e69290e1e5e4.png，所以e88714c537563f85c0c1051fe083c8be.png，

解得539265fe5b1678180e9dc8a71aace138.png，所以正整数k的取值集合为{1，2}．

20．（本小题满分16分）

已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png，数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png满足a51093db09194a2b9db6ebfb075e0a59.png，n06517bd134d195fd1ddb40d6dad6a477.png．

（1）若92de8a4525b7f3f41b7f07198eed9916.png，27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png，求数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png的前2n项和525d8244ef524b88a516991cd7ab2e95.png；

（2）若数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png为等差数列，且对任意n06517bd134d195fd1ddb40d6dad6a477.png，2fd7d2b28840292b8c7f39cb95fb8afb.png恒成立．①当数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png为等差数列时，求证：数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的公差相等；②数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png；若不能，请说明理由．

解：（1）因为92de8a4525b7f3f41b7f07198eed9916.png，27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png，所以7bd3a1e3cad96c6b22641173b25b2242.png，0e312aeb76e7c208a3fbfe3307548837.png且268e443b476d039559b83b685630dee5.png，0c07f1b96beef65b8d6587068eea73f0.png

由题意可知，数列1cd8dc5c6dbd53a1a9c707af0d8ba6fd.png是以1为首项，2为公差的等差数列，

数列508db63861e586a7ed34706e5a23498c.png是首项和公比均为4的等比数列，

所以548065fb96aa1efae9d7915968ec7a37.png；

（2）①设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的公差为975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png，

当n为奇数时，1e3bafe9d7697d278b75ebc71f016afd.png，2b3108afb5f24c3e7f97acbb07db247f.png

若1bf362f2c3c849a11e416b98a16642bb.png，则当c42d6a019c6585e03f190eaa38f292a8.png时，29d42f4acb06648c6b74defb72f90e60.png，

即07b946453b570ec087356488c068a45d.png，与题意不符，所以a55fe4190ee0d4bc46262e82f9a76707.png，

当n为偶数时，760ffd060b6f96ee777f547a5411041f.png，1b1291519fbbec9a1e3fc584f1d193d8.png，

若4deb231a767c4e731e97c71bc49a2ba8.png，则当b377bcfd0c5229737753c99aba5098d2.png时，d797c5c5b55aba0373126ac3f5b8a6ab.png，

即07b946453b570ec087356488c068a45d.png，与题意不符，所以591c592909f39ff9ce925a3c9b6faf74.png，

综上，ec9eeb2dc5c2d3185428fde1883897be.png，原命题得证；

②假设d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png可以为等比数列，设公比为q，

因为2fd7d2b28840292b8c7f39cb95fb8afb.png，所以a96480a152af63b8576b681ad29895cc.png，所以da52174330dfd0d3f28f6dd407175470.png，357d5be80203a18a55a827fb005aecf8.png，

因为当286ca02955eb7790ca911a5dcde08fb4.png时，

bfc158a4b15d8cadc01bec13aaed4e25.png，

所以当n为偶数，且4be6fb912c81380a33442dc8126b9085.png时，c09b4148af28daa3c75581122719c4d8.png，

即当n为偶数，且9176b493265de19a80b583f9f1cf0faf.png时，7f4965b388711c4754b1231bb5ecdf35.png不成立，与题意矛盾，

所以数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png不能为等比数列．

第II卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。

解：设矩阵M＝624863a6514a8bb9e48b4299aa5191c7.png，则AM＝36222d06a09a3618e4e954292ddd0dec.png，

所以a65dc611ee4af2bfad57282f3f99a977.png，解得bbed8dbce32e08143102c6fb4dad2e9a.png，所以M＝4857dd5d23633cd6ae5eb2e34cfb0ab7.png，

则矩阵M的特征方程为04b0187e854fbd57b1806e9cd8bbc57e.png，解得3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png，即特征值为1，

设特征值3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png的特征向量为549fba8d20d99e20345e03634894c196.png，则b6e204c357b4a38769a492bf6a867190.png，

即614666c24d7ab4ca1131e1c42cfb7646.png，解得x＝0，所以属于特征值的3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png的一个特征向量为a4db53c5affa676d50fda9575d41295f.png．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 4sin 。

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．

解：（1）∵曲线C的极坐标方程为5e0b30e9724deb3db4e86dddeb41838d.png，

∴d9cef4685c3ebf517bd965db873ce674.png，则5159a60e3900212f237f84eed906d0c6.png

即：8f58134edaed7f8986a3c8b89c7f4d15.png

（2）fda1d6a91b202b28073d4844a6cbc81a.png，

∴1ac769d3bc1842b6390fdcbab5a6951b.png，3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png

∴cc5580f01b551a151bf9b888ec5e7ae7.png

e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png（舍）或a9e81193486597a1b265ff2e95db2a8c.png，

公共点(91a24814efa2661939c57367281c819c.png，3)，极坐标(291a24814efa2661939c57367281c819c.png，c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png)．

C．选修4—5：不等式选讲

已知正数x，y，z满足x y z t（t为常数），且bcc5b33d88f66bac260b52ae98fa2e2f.png的最小值为7d4d4262d868e3a6f86268bf03aea32c.png，求实数t的值。

解：因为d2d78a3c279b1f2f6cdc8c428f4c24cc.png

24f93a7299d1d39403f04d87d1c8ae77.png

即bcc5b33d88f66bac260b52ae98fa2e2f.pngc48ffac7e2528bafc95ffc44429ea63a.png，当且仅当a87f042ef2b04331fd33b7a63c568a2b.png，a4188873623b0147284c3c282f77a6a6.png，4dd8c0e2d1d3f8e185698b58faa5cf29.png时，上述等号成立，

所以ca932bf9bc481d0a86418a9b08841e97.png，即7bf96acf7b1a84592d77731d47e41734.png，又x，y，z＞0，∴x y z t＝4．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;

（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

解：由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40

且23e629d1f61bb1cb5538bd700f4879c8.png，6f0c73c8f228c3e0917198f3b85dd58f.png，

所以3b2e033b4efa6e279e04fba1d77b686c.png，

即随机变量X的概率分布为

所以随机变量X的数学期望f67b27d96e94df93bb7a08451747f3c6.png；

（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，

因为60＝20×3＝40＋10＋10，

所以d196f2565f9b397e80958b37cf9b01ba.png．

23．（本小题满分10分）

已知抛物线C:x2 4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k 0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.

（1）求点G的轨迹方程；

（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.

解：（1）设，则，

抛物线C的方程可化为d3ca487a97d0417386cd73ebede1e21a.png，则a9994e9bd44584f8e56f97a98e75d22a.png，

所以曲线C在点A处的切线方程为8fcfbe2046189bc853ef32125c05627f.png，

在点B处的切线方程为，

因为两切线均过点G，所以1d1d279d5dfb85246b9af76fadcddaa9.png，bf5e9f7adb584158a7e74e20b86f6186.png

所以A，B两点均在直线上a07a8cc1551609c26b00144d86e8c60b.png，所以直线AB的方程为a07a8cc1551609c26b00144d86e8c60b.png，

又因为直线AB过点F(0，p)，所以6ace8fcb2a9e932fdec108a4f6b681bf.png，即G点轨迹方程为cbaaaee9440bde488c254db81d13f0fd.png；

（2）设点G(0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png，55858f1a396d15a9fb364a8d484a489e.png)，由（1）可知，直线AB的方程为212dc62188f407fcc60dcb17fe65aa23.png，

即0105e54fcf44df5e435903ea9289f7f3.png，

将直线AB的方程与抛物线联立，b7834b2f61b82edf762b115ccfea560d.png，整理得513225c7e385f689c6cc8f266d38b549.png，

所以955b8cec2b1e44aa60464035658b8979.png，10c318b02a07f805e48a683e7d608816.png，解得20b0d9fade94904d34dd4aec1cadc391.png，

因为直线AB的斜率8b7678e59049cfeaa50afec5e77a2401.png，所以4ef0fd3c0194df22642eb02e2e22edf0.png，

且06d8c81affb91071665681ccd6808545.png，

线段AB的中点为Mbb138902079894fe4c0bff69438d62bd.png，所以直线EM的方程为：

f8ab2fa0781f339b0c7804a8c9c42acb.png，

所以E点坐标为(0，f153cd9ee0181fabf7b99e0d135e2aaf.png)，

直线AB的方程整理得42faba9b50691476278c231b80acc862.png，

则G到AB的距离a7cceac675bcee1c5e1c2aac3141b7ac.png，

则E到AB的距离e32d10530b3c0403c41b2207134650a9.png，

所以4f146b8d3ffaf97709f43d0c9e50cf9a.png，

设62c2769eb67420b2616ded9149cd09d3.png，因为p是质数，且0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png为整数，所以069376c78779c423c0f08f201096483e.png或ca54cd957384f25cb11fda384ca08352.png，

当时069376c78779c423c0f08f201096483e.png，48725706053033c0432744dc6571d222.png，6a89692c422db2e77eebc0d6d8c23a5f.png是无理数，不符题意，

当ca54cd957384f25cb11fda384ca08352.png时，c0e3922f6b74895deb4d35648566f698.png，

因为当976c886e7a62f6252b44d830ad30f9dc.png时，5577d7c10b2ef675e656b826ec8b8094.png，即c482ebdeff07fe4602f2583c5136a6ae.png是无理数，所以976c886e7a62f6252b44d830ad30f9dc.png不符题意，

当265fbc7211f6d34a992b235c339f6ef7.png时，fd8712f7799f1def7ed0fff710d79f67.png是无理数，不符题意，

综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．

江苏省2019 - 2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题含附加题（解析版）