3、消费“多样化”

手工艺制品是我国一种传统文化的象征，它品种多样，方式新颖，制作简单，深受广大学生朋友的喜欢。当今大学生的消费行为表现在追求新颖，追求时尚。追求个性，表现自我的消费趋向：购买行为有较强的感情色彩，比起男生热衷于的网络游戏，极限运动，手工艺制品更得女生的喜欢。

现在是个飞速发展的时代，与时俱进的大学生当然也不会闲着，在装扮上也不俱一格，那么对作为必备道具的饰品多样性的要求也就可想而知了。

大学生对手工艺制作兴趣的调研

但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。

培养动手能力□ 学一门手艺□ 打发时间□ 兴趣爱好□

可是创业不是一朝一夕的事，在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症，对我们这些80年代出生的温室小花朵来说，更是难上加难。

夏日的街头，吊带装、露背装、一步裙、迷你裙五彩缤纷、争妍斗艳。爱美的女孩们不仅在服饰搭配上费尽心机，饰品的选择也十分讲究。可惜在商店里买的项链、手链、手机挂坠等往往样式平淡无奇，还容易出现雷同现象。

服饰□ 学习用品□ 食品□ 休闲娱乐□ 小饰品□

加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果

题 目： 度量空间课程论文

院 系： 数科院

专 业： 数学与应用数学

班 级： 0x数本x班

姓 名： xxx

学 号： 2009xxxxxx

1 度量空间的定义……………………………………………………………………1

2 度量空间的一些例子………………………………………………………………2

3 度量空间的一些简单性质…………………………………………………………5

4 度量空间的紧致性与完备性………………………………………………………8

4.1 度量空间的紧致性………………………………………………………………… 9

4.2 度量空间的完备性………………………………………………………………… 10

5 关于数学专业本科泛函分析教学的探讨………………………………………… 12

参考文献…………………………………………………………………………………14

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png 度 量 空 间 课 程 论 文

本文由湛江家教网www.zjzsjj.com提供！湛江找家教请家教，

可上网搜索【湛江师范家教网】

摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.

关键词: 度量空间 导集 闭集 泛函分析 应用

度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.

1 度量空间的定义

度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.

定义1.1 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个集合，若对于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中任意两个元素f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png都有唯一确定的实数73eb69b4f54ea5f7193a30c63bfbe389.png与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

(1)正定性 83599d2293a6135ff006bd2ad0d9cad9.png,并且73eb69b4f54ea5f7193a30c63bfbe389.png4e0eea1bd7d6e46116f2b7fbbe8d4026.png当且仅当919860b52317a584e5de6f3257631d16.png；

(2)对称性 73eb69b4f54ea5f7193a30c63bfbe389.png 43ec3e5dee6e706af7766fffea512721.png73eb69b4f54ea5f7193a30c63bfbe389.png；

(3)三角不等式 b01cd98d9a9116c20ec993690ecbca59.png.则称83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是集合02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个度量，同时将66ed9a42312f39375028d0ba126adc80.png称为度量空间或距离空间. 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.

定义1.2 设66ed9a42312f39375028d0ba126adc80.png是一个度量空间，e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png.对于任意给定的实数6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png,集合dee1a2657291b1db051b051c532153c4.png，记作df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png,称为一个以9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为中心，以a06c34952043eb8035c521bac955bdcc.png为半径的球形邻域，简称为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的一个球形邻域.

2 度量空间的一些例子

例2.1 离散的度量空间

设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是任意的非空集合，对02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的任意两点8c5c9550857494a2be12062bd86d83ce.png，令

8ba2c4fdd990ec9e2564b3d0cfcc9340.png

容易验证60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足关于距离的定义中的条件.我们称89f6056921ba1f2356014d302df723b0.png为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.

例2.2 序列空间S

令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点2045f79fb0ae1f145c88b8df9f360d19.png及50e587e7a32452226da4caebc7c2aa2b.png，令

3fbc12214ca4c9610a8a2c5948c0b3a6.png，

易知60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足距离条件

f7814e8be930cf65f7c166aa58aaab5e.png的充要条件为919860b52317a584e5de6f3257631d16.png. (2.1)

下验证60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足距离条件

a105c84427689825eb3dfb3b05b44503.png对任意fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png都成立. (2.2)

为此我们首先证明对任意两个复数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png和92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，成立不等式

50b33d47002d86b85d27012ad350e873.png

事实上，考察61224e818dfa2f8d0c4f6afbca00d1c1.png上的函数

9f871fd7e7c78bea5c6e25296a3ecc17.png

由于在61224e818dfa2f8d0c4f6afbca00d1c1.png上，69a82cefb83002047ff9bc58a3814197.png.所以1750657d12e9fa99fb61bf8478127ba7.png在61224e818dfa2f8d0c4f6afbca00d1c1.png上单调增加，由不等式d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d114c7153c9217da5a2cb06a900cbec0.png，我们得到

b7dda0ad40311db263cc2358074e968f.png.

令4d63faf47f56c6441ffd864ba3b61c2b.png，199977472fee7393a707891595f1903b.png则8eafc0dd241b9217101fc4502b0ff7e5.png，代入上面不等式，得

161268a3c99ffed3c79554abc6d5a3d0.png.

由此立即可知60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足距离条件(2.2)，即S按60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png或一度量空间.

例2.3 有界函数空间0bfacd82963e4ae6060e4e798ce69c1a.png

设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是一给定的集合，令0bfacd82963e4ae6060e4e798ce69c1a.png表示7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png上的有界实值（或复值）函数全体，对0bfacd82963e4ae6060e4e798ce69c1a.png中任意两点f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png，定义

fb21f382d244c7e11b1ea1669ea441bd.png.

下面验证60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足条件(2.1)和(2.2).60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png显然是非负的.又a41be4712eed448d8c99821ccaa43f72.png等价于对一切052c1c06cf033469fb92ff4585cbeb2d.png，成立1e1b48046e0e973b60d7e44b37280688.png，所以919860b52317a584e5de6f3257631d16.png，即60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足(2.1)，此外，对所有的052c1c06cf033469fb92ff4585cbeb2d.png成立

988c5a43af924e28d5696f3936388dc5.png.

所以

691a8b3b23a161a7637d255745d93985.png.

即60c8356a3ae824a1b448dcba605f36b2.png满足条件(2.2).特别地，当b94e984137af3bee6c0324dedcbbf3e2.png时，记0bfacd82963e4ae6060e4e798ce69c1a.png为461a1533ec76d28ae9d1bcc0e50ee1ae.png.

例2.4 可测函数空间dfad906f72bce48c6e81adbb040aec0b.png

设dfad906f72bce48c6e81adbb040aec0b.png为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png上的实值（或复值）的8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png可测函数全体,m为8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png 测度，若 e61a3166702b1255deddef0e8ee7cb73.png，对任意两个可测函数 d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png及096254c7552111f593bb632a91205f32.png，由于

7d6246955e3e3eb7c932380f7d39a14e.png

所以这是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png上的可积函数，令

2edf9b03b6b77e82d776d8fc85043880.png

如果把dfad906f72bce48c6e81adbb040aec0b.png中的两个几乎处处相等的函数视为dfad906f72bce48c6e81adbb040aec0b.png中的同一个元，那么利用不等式50b33d47002d86b85d27012ad350e873.png

及积分性质很容易验证74dcf8f6a91b65a5afb5fbaeddf67baf.png是距离.

因此dfad906f72bce48c6e81adbb040aec0b.png按上述距离74dcf8f6a91b65a5afb5fbaeddf67baf.png成为度量间.

例2.5 491642d1793dd804d37a40120ef3abc9.png空间

令491642d1793dd804d37a40120ef3abc9.png表示闭区间b57515f693b44e149c68c64696ea7be4.png上的实值（或复值）连续函数全体，对491642d1793dd804d37a40120ef3abc9.png中任意两点b3b92ef11679db9309d134c545aabdb4.png定义

9fe110ad4dddec7d8dbd5f83728bc422.png

容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).

例2.6 0f4d96aff4e62ed2d926209b6cbf88bf.png

记aa5b79066ba6c34e9369617653f056e4.png.设3abd0c40b5bee3f6313f3df9aa3527a4.png定义

87a5b6c06526aadb376b65b0419202aa.png.

则8277e0910d750195b448797616e091ad.png是0f4d96aff4e62ed2d926209b6cbf88bf.png的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) .

对任何正整数n，052a4d83703d0915a3333a1607a63ffd.png和984e5722d46e1d5d43eca29057ee5af6.png 都e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中的元素，由2ee21c55474972b3e65b31a6b0b57dc8.png不等式

db39cd5680016d84dac4b7d1f17560ee.png

再令右端 34bd4b4ef2ae3d9cc8b5d42616bdf070.png，即得

4fb7689f1947ae10acc72e261f0cb0b6.png

再令左端的34bd4b4ef2ae3d9cc8b5d42616bdf070.png，即得

7736b78638f3af895f4b45ce66cceb45.png

由此可得

1b310d2580a818e44742f93adc883adb.png

0fbf8d6a9b5bb6f0565a1cbe9af92029.png

8bcbe1bb0589bf4f321f5f58c38011be.png

令取e76fab6fbf132ab6ac4d8335e2292754.png以 de8442ace2a087129a29788ae152658f.png代入上式，即可得74dd522bc21c5c33ce00e828239d5a12.png的三点不等式

ac50ba40fa5833468fd59133b892e211.png

由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png 之外，还包括其他的空间.

3 度量空间的一些简单性质

定理3.1 设66ed9a42312f39375028d0ba126adc80.png是一个度量空间，则拓扑空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.

证 充分性 若83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png是一个离散的度量，则对于任意的e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，存在实数dca3f79f4cefc4321bd3e32278800767.png，使得对于任意的962f895bb8ea210f5546dbf00ed06d84.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png,932f359c34c69f02292e6320a299cabb.png ,有edec3575b6b15dabf0a45875667ed7d9.png.于是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的球形邻域ef9edd45f8ba43411c3622e330c9de41.png,所以，fb397fc74367c4e6f346502e4cf96fcd.png为开集.由9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的任意性以及开集的性质，故02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png为离散空间.

必要性 若02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png为离散空间，则对于任意的e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png,单点集fb397fc74367c4e6f346502e4cf96fcd.png为开集，于是存在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的球形邻域a87e97ab49e6bdaec27d459f16496219.png ,令4ee188a9c5cf0e6bbfb131cdec45621a.png，则对于任意的36c2b020fa267a69c9b76271b71c3a75.png并且932f359c34c69f02292e6320a299cabb.png,有73eb69b4f54ea5f7193a30c63bfbe389.png37d89d44c812b02e26dfd9f31c90b84a.png.所以, 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png为离散的度量.

定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.

证 设961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png为一个度量空间，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的任意一个子集.欲证7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的导集5ce83f874fb13738a1ba20ae1cb3ef6f.png为闭集，只需证085cc729830323c1c487900231093c10.png.

如果027a9eb7ec0ddbf1f7e932f7b83aa13b.png,显然085cc729830323c1c487900231093c10.png.

如果7146b496f6a9006595733539c2c52c7a.png,由于a60c94610742d45859525fca05e2f2f1.png,所以对于任意e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png888010b043a26925d9a6b50701f1f522.png,有e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png或e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png5ce83f874fb13738a1ba20ae1cb3ef6f.png.

若e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，则对于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的任意一个球形邻域df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png,有

df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png13e7bc383dc862ad34f39d632e3ba31e.png.

于是，对于任意的

962f895bb8ea210f5546dbf00ed06d84.pngdf9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png13e7bc383dc862ad34f39d632e3ba31e.png,

则932f359c34c69f02292e6320a299cabb.png，取

e995b4b41ac8f0092a6e8801bf54cfee.png

则

20fcf8214f022ce8e49714808577807d.png,

并且

6e546c26960f200416583d8900840627.png

又由于

72819a0bf5abcb07b514eac5f6c7bace.pngc540036555a04ccd72663fac5d8b2020.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pnge2b13e6036ca344fe6637ccdc0191ee6.png,

所以

e2b13e6036ca344fe6637ccdc0191ee6.png4a55060873bd7541ad0bd1dee6649760.png，

因此

e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png5ce83f874fb13738a1ba20ae1cb3ef6f.png.

综上，对于任意e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png888010b043a26925d9a6b50701f1f522.png,有e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png5ce83f874fb13738a1ba20ae1cb3ef6f.png.所以，085cc729830323c1c487900231093c10.png.

定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.

证 961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png为一个度量空间，e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png,对于任意36c2b020fa267a69c9b76271b71c3a75.png,932f359c34c69f02292e6320a299cabb.png,令ba1533659908b16cfab2b955230523cc.png，于是6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png,并且3004b7d33715b5348741567aabe46323.png,所以,415290769594460e2e485922904f345d.png1a2a716c08c7932b106315e7d086ad21.png00fcccc32857a3fadaf4bd73a8fcf39e.png,于是fb397fc74367c4e6f346502e4cf96fcd.png=00fcccc32857a3fadaf4bd73a8fcf39e.png,因此，单点集fb397fc74367c4e6f346502e4cf96fcd.png为闭集.由9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的任意性，度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的每一个单点集都是闭集.

定理3.4 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个度量空间，如果02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png有一个基只含有有限个元素，则02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png必为只含有有限多个点的离散空间.

证 假设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是无限集.由于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个度量空间，由定理3.1可知，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意e80178d3746554f210f08f3d64ffa782.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，集合02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png-fb397fc74367c4e6f346502e4cf96fcd.png都是开集.因此，拓扑空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中有无穷多个不同的开集.又由已知02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个离散空间.

定理3.5 度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限.

证 设961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是一个度量空间，4c27d2851452091a9023cda0942181b7.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个收敛序列.假若序列4c27d2851452091a9023cda0942181b7.png至少有两个极限9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png和415290769594460e2e485922904f345d.png.由于932f359c34c69f02292e6320a299cabb.png,则77dd1279cebf188aa624c311d4dc712e.png.设

a06c34952043eb8035c521bac955bdcc.png=77dd1279cebf188aa624c311d4dc712e.png,

于是对于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的球形邻域df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png,存在f2da4ca1b046da32d73b4ecc49d58680.png∈bdc34db1b19bfc649c818e2fcfaa8e24.png,使得当f300941cd4cf1f1f5deffb82e526ad30.png f2da4ca1b046da32d73b4ecc49d58680.png时，有05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngdf9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png;对于415290769594460e2e485922904f345d.png的球形邻域e70336190ca9f2e6ac8ca5ef8628ec3c.png,存在34a392a9e27dd596c3ed3292b990712f.png∈bdc34db1b19bfc649c818e2fcfaa8e24.png,使得当4669e5cd0843ab517cde66904cb248fb.png34a392a9e27dd596c3ed3292b990712f.png时，有05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pnge70336190ca9f2e6ac8ca5ef8628ec3c.png.则一方面

df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.pngb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.pnge70336190ca9f2e6ac8ca5ef8628ec3c.png2742dc4296dfd900d121943e1891e962.png. （3.1）

另一方面，令

c1dc8da7421726c432e3a972ba53fbf7.png{f2da4ca1b046da32d73b4ecc49d58680.png,34a392a9e27dd596c3ed3292b990712f.png},

于是当f300941cd4cf1f1f5deffb82e526ad30.png69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png时，有

05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngdf9077700e6c206cc288f2865b76ab18.pngb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.pnge70336190ca9f2e6ac8ca5ef8628ec3c.png，

这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.

因此，度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png只有一个极限.

定理3.6 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个度量空间，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png,9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png有一个序列4c27d2851452091a9023cda0942181b7.png在d2be619bba015304cb436a49ae0d17d3.png中并且收敛于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png当且当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png是集合02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个凝聚点.

证 必要性 设序列4c27d2851452091a9023cda0942181b7.png在d2be619bba015304cb436a49ae0d17d3.png中并且敛于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png.如果4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png是9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的一个邻域，则存在e49933dafda1367f3f6e3aec34ddca36.png bdc34db1b19bfc649c818e2fcfaa8e24.png使

{00192666e0dc38021272a4a442e9454f.png…}b56b11bf09a3d50783d88b0c3d2170f5.png,

因此

{00192666e0dc38021272a4a442e9454f.png,…}c51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png7a49e58ba53837faee66d8c6fe912d11.png,

从而

7a49e58ba53837faee66d8c6fe912d11.png4a55060873bd7541ad0bd1dee6649760.png.

所以9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png是7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的一个凝聚点.

充分性 如果9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png是7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的一个凝聚点，则对于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png任意一个球形邻域df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png有

df9077700e6c206cc288f2865b76ab18.png17de55e01b4a3c1670e2cc8890e64a89.png4a55060873bd7541ad0bd1dee6649760.png,

于是对于任给的正实数a06c34952043eb8035c521bac955bdcc.png有

e5b33da33d9ac4233a73d278f7c030f4.png,

其中27114aa2beba3466341da0b77d741802.pngbdc34db1b19bfc649c818e2fcfaa8e24.png.并且

508ec13d650832223add96de66f2eae0.png17de55e01b4a3c1670e2cc8890e64a89.png4a55060873bd7541ad0bd1dee6649760.png.

所以对于每一个27114aa2beba3466341da0b77d741802.pngbdc34db1b19bfc649c818e2fcfaa8e24.png,任取

05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.png508ec13d650832223add96de66f2eae0.png17de55e01b4a3c1670e2cc8890e64a89.png4a55060873bd7541ad0bd1dee6649760.png,

则序列{05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png}a67d7173a6cf3e803b631bc9468f25eb.pngc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png b8ce50015b0c2712196e09ccd682190a.png中并且收敛于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png.

4 度量空间的紧致性和完备性

4.1 度量空间的紧致性

定义4.1.1 设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是度量空间66ed9a42312f39375028d0ba126adc80.png中的一个非空子集.集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的直径ad18a418da4e3cbf4e3e5a70710f2d85.png70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png定义为

ad18a418da4e3cbf4e3e5a70710f2d85.png70a677061ef154be1d35399674b06e0f.png=85c886f961471c28d34c6cc97f49af38.png

定义4.1.2 设66ed9a42312f39375028d0ba126adc80.png是一个度量空间，A是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个开覆盖.实数b4a0aa34ac4fab62293e6a834b19c6af.png成为开覆盖A的一个8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数，如果对于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的任何一个子集7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，只要ad18a418da4e3cbf4e3e5a70710f2d85.png70a677061ef154be1d35399674b06e0f.pnge0fded27bb9b1a528f904d62b25a592c.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png包含于开覆盖A的某一个元素之中.

8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数不一定存在。例如考虑实数空间d8309ca146bd2efe09b9d81ab4993e17.png的开覆盖

64a6f9652be34784a29558c6fe6a4531.png

则任何一个实数都不是它的8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数.

定理4.1.1(8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数定理) 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数.

证 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个序列紧致的度量空间，A是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个开覆盖.假若开覆盖A没有8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数，则对于任何134957fa1d46ba0797d249358df469da.png，实数6baa932febec297f1c501c10152b39bc.png不是A的8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数，所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png有一个子集82deb5e05e05a48f33fea4dd071e001d.png使得ad18a418da4e3cbf4e3e5a70710f2d85.png261fb011b1f94f57eff7644868401334.png并且82deb5e05e05a48f33fea4dd071e001d.png不包含于A的任何元素之中.

在每一个82deb5e05e05a48f33fea4dd071e001d.png之中任意选取一个点05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png，由于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个序列紧致空间，所以序列fff9ca5bb95a86e76440a715849677e3.png…有一个收敛的子序列48158bc226ee459e453ed0de2b1d8be1.png…设这个子序列收敛于36c2b020fa267a69c9b76271b71c3a75.png.由于A是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个开覆盖，故存在3cf61c12b03490072ccd944bed7f0dd6.pngA使得36c2b020fa267a69c9b76271b71c3a75.png，并且存在实数6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png使得球形邻域e39d3fd7ec6141121736f8db6442e555.png.由于序列48158bc226ee459e453ed0de2b1d8be1.png…收敛于415290769594460e2e485922904f345d.png，所以存在整数eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png使得当2444cf31faef39dca2363a390433ba68.png时5614fd17ff02ef9d19eb619700e17484.png.令k为任意一个整数，使得aaebc8a0c9f35e5555d3128453a3d6ce.pngce73dad8a02d4633946b8f73b2f7157c.png,则对于任何a597303d5d4390fa44e602ae81e3924b.png有

32f1787210f138788958090923b71296.png

这证明

d48ee391b0582ee5e5b47e18fa0c2439.png0c9ca75f315d111f1ce6934d3728ad79.pngA

与d48ee391b0582ee5e5b47e18fa0c2439.png的选取矛盾.

定理4.1.2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.

证 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个序列紧致的度量空间,A是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个开覆盖.根据8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数定理，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的开覆盖A有一个8dcbe8f49ca5ef97f1ab46afdf087fb0.png数，设为b4a0aa34ac4fab62293e6a834b19c6af.png.

令B=e86a83ddf11f15ec6b2f0782a6f55e93.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，它是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的开覆盖，我们先来证明B有一个有限覆盖

假设B没有有限覆盖，任意选取一点509abf7e02cf990200a5350fe5cb12bf.png02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，对于d4225df29ee5efd68caf20614f27c22f.png,假定点f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png,8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，20ff3ca4bbe264e0212b1e2ec15ff413.png已经取定，由于58f9b2f379f7f02f04cf41c857441b85.png不是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的覆盖，选取2f1a14d5dbb39e1f69a19d29401a0bd3.png使得66ff9e9464c723da5b505cfec71e4bda.png，按照归纳原则，序列f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png，8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png已经取定，易见对于任意ee813f0ede8664a8049b1b6720f03b60.png62059586aa9dc199aaf537693258ef5e.png,de181001bace975ec34a98f6b7609a82.png，有433b9990feb0a292240b4130415a6c30.png，序列f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png,8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，没有任何收敛的子序列，（因为任何36c2b020fa267a69c9b76271b71c3a75.png的球形邻域0f65f68e534f707c56a5973dc6b7c47e.png中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是序列紧致空间相矛盾.

现在设e8350c5097a6e84ea481d58f801ebeb4.png是开覆盖B的一个有限子覆盖.由于其中每一个元素的直径都小于6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png，所以对于每一个865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png=1，2,…,n 存在d542eba7da2c642db5a2877c1e98a4b9.pngA似的f4b75eacf7992f439f0e7acb0a04d6f9.png2d3441e026501d0249269351c43e5e11.png .于是，04da834d2eadd9b3f1dca4b264a36723.png 是A的一个子覆盖.

定理4.1.3 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个度量空间，则下列条件等价

（1） 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个紧致空间；

（2） 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个列紧空间；

（3） 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个序列紧致空间；

（4） 02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个可数紧致空间.

4.2 度量空间的完备性

定理4.2.1 设961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是一个度量空间.则961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是紧致的当且仅当961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是一个完全有界的完备度量空间.

证 设度量空间961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是紧致的.任意给定实数6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png，由球形邻域构成的集族34c8ee925a60af577dafad921fa4de7e.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为6af29040938a2a70f399121336108026.png.易见有限集合8029acd4220259958a3b2b849741a23f.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个a06c34952043eb8035c521bac955bdcc.png网.这证明02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是完全有界的.

为证明961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是完备的，设序列b355bf6e3065292185ed17f0ad6517d9.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个2ee21c55474972b3e65b31a6b0b57dc8.png序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的，所以序列b355bf6e3065292185ed17f0ad6517d9.png有一个收敛的子序列，设这个子序列收敛于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png这时序列b355bf6e3065292185ed17f0ad6517d9.png也必收敛于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png.这证明02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的每一个2ee21c55474972b3e65b31a6b0b57dc8.png序列都收敛.

另一方面，设961fd79e76afc928477e790652ad7e89.png是一个完全有界的完备度量空间.为证明02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个完备度量空间，这又只要证明02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的每一个序列有一个子序列是2ee21c55474972b3e65b31a6b0b57dc8.png序列.

设b355bf6e3065292185ed17f0ad6517d9.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个134957fa1d46ba0797d249358df469da.png定义一个序列5cecb839a7ebafdfebcc157de0db65e5.png如下：首先，令da1d4d74af148fcbd30d11c96d9dcf85.pngb355bf6e3065292185ed17f0ad6517d9.png.其次对于d4225df29ee5efd68caf20614f27c22f.png，假定2d2e1768e4fe49acec3b25e9bde99256.png已经定义.设b7e9b59259b5c3bcc6ea37cfd68c3a41.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个1ae7d191c6745a3249fb949e03b1f232.png网，因此球形邻域构成的集族 87e78dcf53b40999e0f0f55e170c7a51.png覆盖02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png.

由于可以再从某一个5bd2f35537ec4c75d75c186a1ee0c3bc.png（其中00fb109ef63e1d5ec9b9dc05eaf4e6c9.png）中选取2d2e1768e4fe49acec3b25e9bde99256.png的一个子序列724b7ef6222560aed99eb0a97af9dd0f.png.

根据定义立即可见，对与每一个d4225df29ee5efd68caf20614f27c22f.png序列2d2e1768e4fe49acec3b25e9bde99256.png是序列5196064ed324768449489ef8dac17694.png的一个子序列，并且对于任何0543ac5817d59f4a1a2fe1fc559f59fc.png有e0c372bd9125726e73a99d0c08d4cece.png.

于是序列8fad7eef86acc6066f26485bfdcd08bf.png的子序列串8d4d40a2e5b34e40067965cf0c2356fc.png的“对角线”序列71ddc347307674cd4538d9ff5f6bdabf.png是序列b355bf6e3065292185ed17f0ad6517d9.png的一个子序列，由于对于任意865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png，30448220423a8d68095614fe940bf149.png，有15c957b83068b27cb9673678374c7313.png，所以ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png是一个2ee21c55474972b3e65b31a6b0b57dc8.png序列.

定理4.2.2（Baire） 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一个完备的度量空间.如果3500d2355eab099c1b837a4ec8acc18c.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的可数个稠密的开集,则2aabf26a1ad61f570307dd7a1622e91f.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个稠密子集.

证 设3500d2355eab099c1b837a4ec8acc18c.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的可数个稠密的开集.为证明3b68988a8b2c4215706dffd3ba38654e.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个稠密子集，只要证明对于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的任何一个非空开集4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png有ca84dc69d943aa55968c5e2be32cad8e.png.

设4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个非空开集.我们对于每一个134957fa1d46ba0797d249358df469da.png，定义一个球形邻域5ded5e40698ce44accdf10c1e3487e19.png如下：任意选取7fb6d499c3e16f4a90194a4be9156cdc.png和742741c7413004c883f5733745da4d6d.png于是有660b7e983eb2ac108176f4031b3ba923.png对于e580d0f9b1aa2cf0e1230abdde75c07b.png，假设5ded5e40698ce44accdf10c1e3487e19.png已经定义.由于668ec86dfe5be1ed6e29ff4743264698.png是一个稠密的开集，所以6eef3af6983078da91f8b74027cbcb3f.png是X中的一个非空开集.任意选取84ceb2513893acb7c9ea001cc9053995.png和9026591bfb695349d502f47eb36a9c7a.png使得97490d535cb0a7c6a2e93ad75dccbf0d.png.根据以上做法，我们有：对于任何134957fa1d46ba0797d249358df469da.png,

(1)fdd3b01bae1d4b388dd539eeae1d40f4.png;

(2)99de612976767eaab8db2cbdac840d9e.png;

(3) 97490d535cb0a7c6a2e93ad75dccbf0d.png

根据定理4.2.1，由于(1)和(2)，可见f431db7d8c8fbef8b1c624cd984aa248.png

由于(3)，374c887b5f79a2da6a684377ee14d556.png

3f06efc0eb58cb7c4b425f6ca768da3e.png

所以ed1a0c9c7d29a0abb4dc0a8a547ae16a.png.

5.关于数学专业本科泛函分析教学的探讨

作为现代数学主体部分的泛函分析，是数学专业本科阶段的基础课程之一，本文通过对泛函分析课程内容及特点的具体分析，提出了教学改革的一些设想和建议。

泛函分析是20世纪30年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的问题，可看作无限维的分析学；它在概率论、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要应用；它的观点和方法已经渗入到很多工程技术性的学科中。

从大的方面看，推动它产生与发展的因素有两个。

其一，“出现了用统一的观点来理解19世纪数学各个分支所积累的大量实际材料的必要性”，使得“泛函分析的基本概念从不同的方面和不同的联系中产生了”，其结果是“代数和分析在方法上的统一”。

其二，“与量子力学相关的数学问题的研究为泛函分析的发展提供了巨大的动力，并逐步形成泛函分析的基本方向”。

泛函分析是“现代数学的基本枢纽之一”。作为现代数学主体部分的泛函分析，与抽象代数和拓扑学并称为数学的“新三高”。

鉴于它的重要性，几乎全国所有的本科数学专业都开设了这门课，但由于它的高度抽象难懂，使之在教学上存在许多问题，下面通过泛函分析内容、特点及现状的分析，提出教学改革上的一点想法和建议。

泛函分析课程的内容和特点泛函分析是“研究无限维线性拓扑空间和这类空间上各种映射的性质”的一门分析数学，是现代分析数学的重要组成部分，就其实质内容而言，包括三部分：一是关于既具有代数结构又具有几何结构的各种空间的理论，包括距离空间、内积空间、赋范空间、Banach空间、Hilbert空间等；二是建立在这些空间上的特殊映射-各种算子及泛函的理论，如逆算子定理等；三是与其他学科相互联系的应用，如泛函分析在自动控制中的应用。

泛函分析目前包括以下分支：一是软分析，其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述；二是巴拿赫空间的几何结构；三是非交换几何；四是与量子力学相关的理论。

本科阶段，泛函分析主要讨论Banach空间、Hilbert空间及空间上的泛函与算子，可以概括为：四个空间和四类定理。四个空间指的是：距离空间，Banach空间，Hilbert空间，对偶空间。

四类定理指的是：开映射定理和闭图像定理；一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质；哈恩-巴拿赫定理，它研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果是给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达。

泛函分析的特点：“分析的课题，代数的方法，几何的观点，再加上广泛的应用，堪称20世纪一门最具综合性的课程。”由于“集合论观点的渗透和公理化方法的运用”使得泛函分析具有高度的抽象，

参考文献：

[1]熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]尤承业.基础拓扑学讲义[M].北京：北京大学出版社，1997.

[3]方嘉琳.点集拓扑学[M].沈阳：辽宁人民出版社，1983.

[4]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M] .北京：高等教育出版社，2003.

[5]张恭庆.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社,1990.

[6]梁方豪.实变函数讲义[M].济南:山东大学出版社,1990.

[7]刘培德.泛函分析基础[M] .武汉:武汉大学出版社,2001.

[8]蒋继光.一般拓扑学专题选讲〔M〕.四川教育出版社，1990年3月第1版.

[9]高国士.拓扑空间论〔M].科学出版社，2000年7月第1版.

最新有关大学数学度量空间的