交流电有效值的计算

江苏省新海高级中学 崔晓霞 222006

交变电流的大小和方向随时间作周期性变化。为方便研究交变电流的特性，根据电流的热效应引入了有效值这一物理量。

一、 正弦交流电有效值表达式的推导：

　　交流电的有效值是用它的热效应规定的，因此设法求出正弦交流电的热效应，才能求出其有效值，正弦交流电电压的瞬时值u=Um·sinωt　，如果把这加在负载电阻R上，它的瞬时电功率

　　其图像如图1所示．由微元法可知，P-t图线和t轴之间所包围的面积就是功（图中打斜条的部分）．

　　不难看出，图中有斜条打△的部分和无斜条打△的部分面积是相同的，因此打斜条部分的面积就是P=U2m/2R线和t轴之间的面积．设正弦交流电电压的有效值是U，根据有效值的定义：

　　　　可得：　　同理可得：；

此关系式仅适用于正弦交流电，那么非正弦交流电的有效值又该如何求解呢？

二、非正弦交流电有效值的计算

例1. 如图2甲乙所示分别表示交变电流随时间变化的图象，则这两个交流电的有效值分别是　　　V和　　　　A。

解析：对于图甲，该交变电流在每个周期T内都可看作两个阶段的直流电流：前T/3中，U1=100V，后2T/3中，U2=50V。在一个周期中，该交变电流在电阻R上产生的热量为： 　①

设该交流电电压的有效值为U，则上述热量 ②

联立①、②两式，可得有效值为

对于图乙，从t＝0开始的任意一个周期内，前半周期是大小不变的直流电，为，后半周期是有效值为的交变电流。

设所求交变电流的有效值为I，根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等，由焦耳定律得

即 解得

点评：对于非正弦交流电，要从有效值从定义出发，根据热效应求解。根据有效值的定义，可以选择计算交流电一个周期之内在某电阻上产生的热量，然后计算多大的直流电在该电阻上相等时间内产生相等的热量，该直流电的值就是交变电流的有效值。

练习1：如图3甲为电热毯的电路图，电热丝接在U=311sin100πt(V)的电源上，电热毯被加热到一定温度后，通过装置P使输入电压变为图乙所示波形，从而进入保温状态，若电热丝电阻保持不变，此时交流电压表的读数是（ ）

A. 110V B. 156V C. 220V D. 311V

答案：B

三、利用能量守恒求解变化电流的有效值

例2．如图4所示，ab是半径不L，电阻不计的1/4圆周的金属环，固定于竖直平面，圆心为o，oa是质量不计的金属杆，其电阻为r ，它的一端挂在o点(无摩擦)，另一端连一金属小球，小球的质量为m，与金属环接触良好无摩擦，ob是一根竖直的与金属环相连接的金属丝，其电阻为R，上述整个装置置于水平方向垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，现将金属小球从a点由静止开始释放，它滑到b点时的速度为v，所经历的时间为t，问：(1)这一过程中，回路的平均感应电动势多大？

(2)这一过程中，感应电动势的有效值是多大？

解析：(1)小球下落过程中，oba围成的面积减小，B不变，φ减小，有感应电动势。

(2)由能量守恒可知，在小球下落过程中，重力势能的减小等于动能的增加和产生的热量，故 ① ② 由①②得：

点评：交流电的峰值、有效值、平均值在应用上是有区别的

(1) 峰值：即最大的瞬时值，当线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线方向的轴匀速转动时，所产生感应电动势的峰值为ε=NBSω，即仅由匝数N，线圈面积S，磁感强度B和角速度ω四个量决定。与轴的具体位置，线圈的形状及线圈是否闭合都是无关的。峰值对纯电阻电路来说，没有什么应用意义。若对含电容电路，在判断电容器是否会被击穿时，则需考虑交流的峰值是否超过电容器的耐压值。

(2)有效值：交流的有效值是按热效应来定义的，对于一个确定的交流来说，其有效值是一定的。在计算交流通过电阻产生的热功率时，只能用有效值；在实际应用中，交流电器铭牌上标明的额定电压或额定电流都是指有效值，交流电流表和交流电压表指示的电流、电压也是有效值，解题中，若题示不加特别说明，提到的电流、电压、电动势时，都是指有效值。

(3)平均值：由公式确定，其值大小由某段时间磁通量的变化量来决定，在不同的时间段里是不相同的。如对正弦交流，其正半周或负半周的平均电动势大小为，而一周期内的平均电动势却为零。在计算通过导体的电量时，只能用平均值，而不能用有效值。

交流电有效值的计算