2016年福建福州中考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）

1．下列实数中的无理数是（　　）

A．0.7 B． C．π D．-8

2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）

（第2题图）

A B C D

3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（　　）

（第3题图）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角

4．下列算式，结果等于a6的是（　　）

A．a4+a2 B．a2+a2+a2 C．a2 • a3 D．a2 • a2 • a2

5．不等式组的解集是（　　）

A．x>-1 B．x>3 C．-1<x<3 D．x<3

6．下列说法，正确的是（　　）

A．不可能事件发生的概率为0

B．随机事件发生的概率为

C．概率很小的事件不可能发生

D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次

7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，互为相反数的是（　　）

A B C D

8．在平面直角坐标系中，若▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，-1），C（-m，-n），则点D的坐标是（　　）

A．（-2，1） B．（-2，-1） C．（-1，-2） D．（-1，2）

9．如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与点A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（　　）

（第9题图）

A．（sin α，sin α） B．（cos α，cos α） C．（cos α，sin α） D．（sin α，cos α）

10．下表是某校合唱团成员的年龄分布：

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）

A．平均数、中位数 B．众数、中位数

C．平均数、方差 D．中位数、方差

11．已知点A（-1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图像上，这个函数图像可以是（　　）

A B C D

12．下列选项，能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是（　　）

A．a>0 B．a=0 C．c>0 D．c=0

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

13．分解因式：x2-4=　 　．

14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．

15．已知四个点的坐标分别是（-1，1），（2，2），（，），（-5，-），从中随机选取一个点，在反比例函数y=的图像上的概率是　 ．

16．在如图的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上 　

r下．（填“>”“<”或“=”）

（第16题图）

17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是　 ．

18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．若菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是　 ．

（第18题图）

三、解答题（本题共9小题，共90分）

19．（7分）计算：|-1|-+（-2 016）0．

20．（7分）化简：a-b-．

21．（8分）一个平分角的仪器如图，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．

（第21题图）　

22．（8分）列方程（组）解应用题：

某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，那么甲、乙两种票分别买了多少张？

23．（10分）福州市2011~2015年常住人口数统计如图．

根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）福州市常住人口数，2015年比2014年增加了　 万人.

（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是　 .

（3）预测2016年福州市常住人口数为多少万人，请用所学的统计知识说明理由．

（第23题图）

24．（12分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM．

（1）求证：BM=CM．

（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

（第24题图）

25．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．

（1）通过计算，判断AD 2与AC • CD的大小关系；

（2）求∠ABD的度数．

（第25题图）

26．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．

（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；

（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；

（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

（第26题图）

27．（13分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．

（1）当h=1，k=2时，求抛物线的表达式；

（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；

（3）当点A在抛物线y=x2-x上，且-2≤h<1时，求a的取值范围．

参考答案

一、1．C 【分析】∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，-8为负数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选C．　

2．C 【分析】人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1．

故选C．　

3．B 【分析】直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．

4．D 【分析】∵a4+a2≠a6，∴选项A不符合题意；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B不符合题意；∵a2 • a3=a5，∴选项C不符合题意；∵a2 • a2 • a2=a6，∴选项D符合题意．故选D．

5．B 【分析】解不等式①，得x>-1．解不等式②，得x>3，由①②，得x>3．故不等式组的解集是x>3．故选B．

6．A 【分析】A．不可能事件发生的概率为0，所以选项正确；B．随机事件发生的概率在0与1之间，所以选项错误；C．概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以选项错误；D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以选项错误．故选A．

7．B 【分析】表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧．故选B．　

8．A 【分析】∵A（m，n），C（-m，-n），∴点A和点C关于原点对称．∵四边形ABCD是平行四边形，∴点D和点B关于原点对称．∵B（2，-1），∴点D的坐标是（-2，1）．故选A．　

9．C 【分析】如答图，过点P作PQ⊥OB，交OB于点Q．在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sin α=，cos α=，即PQ=sin α，OQ=cos α，则点P的坐标为（cos α，sin α）．故选C．

　（第9题答图）

10．B 【分析】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，则总人数为5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为=14（岁），即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．故选B．　

11．C 【分析】∵点A（-1，m），B（1，m），∴点A与B关于y轴对称，故A，B选项不符合题意；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x>0时，y随x的增大而增大，故C选项符合题意，D选项不符合题意．故选C．

12．D 【分析】∵一元二次方程有实数根，∴=（-4）2-4ac=16-4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0．A．若a>0，当a=1，c=5时，ac=5>4，故此选项不符合题意；B．a=0不符合一元二次方程的定义，故此选项不符合题意；C．若c>0，当a=1，c=5时，ac=5>4，故此选项不符合题意；D．若c=0，则ac=0≤4，故此选项符合题意．故选D．

二、13．（x+2）（x-2）

14．x≥-1 【分析】若二次根式在实数范围内有意义，则x+1≥0，解得x≥-1．

15． 【分析】∵-1×1=-1，2×2=4，×=1，（-5）×（-）=1，∴两个点的坐标在反比例函数y=的图像上，∴在反比例函数y=的图像上的概率是2÷4=．　

16．< 【分析】如答图，r上<r下．

　　（第16题答图）

17． 98 【分析】因为x+y=10，xy=1，所以x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2-2xy]=1×（102-2×1）=98．

18． 【分析】如答图，连接EA，EC．设菱形的边长为a．由题意，得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a，∴∠AEC=90°．∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，∴E，C，B三点共线．在Rt△AEB中，tan∠ABC==．

（第18题答图）　

三、19．解：|-1|-+（-2 016）0

=1-2+1

=0．　

20．解：原式=a-b-（a+b）

=a-b-a-b

=-2b．　

21．证明：在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．　

22．解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．

根据题意，得解得

答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．

23．解：（1）7．

福州市常住人口数，2015年比2014年增加了750-743=7（万人）．

（2）2014年.

由题图可知，2012年增加×100%≈0.97%，

2013年增加×100%≈0.96%，

2014年增加×100%≈1.2%，

2015年增加×100%≈0.94%，

故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2014年．

（3）预测2016年福州市常住人口数为757万人．理由如下：

从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2016年福州市常住人口数为757万人（答案不唯一，言之有理即可）．　

24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∴=．

∵M为的中点，∴=，

∴+=+，即=，

∴BM=CM．

（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π．

∵===，

∴=+=，

∴的长为××4π =×4π=π．

25．解：（1）∵AD=BC，BC=，

∴AD=，∴DC=1-=．

∴AD 2 ==，AC • CD=1×=．

∴AD 2 = AC • CD．

（2）∵AD=BC，AD 2=AC • CD，

∴BC 2=AC • CD，即．

又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．

∴=1，∠DBC=∠A．

∴DB=CB=AD．

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．

设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴x+2x+2x=180°．解得x=36°．

∴∠ABD=36°．

26．解：（1）由折叠的性质，得△ANM≌△ADM，

∴∠MAN=∠DAM．

∵AN平分∠MAB，∴∠MAN=∠NAB，

∴∠DAM=∠MAN=∠NAB．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，

∴∠DAM=30°，

∴DM=AD • tan∠DAM=3×tan 30°=3×=．

（2）如答图①，延长MN交AB的延长线于点Q．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ．

由折叠的性质，得△ANM≌△ADM，

∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，

∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ．

设NQ=x，则AQ=MQ=1+x．

∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°．

在Rt△ANQ中，由勾股定理，得AQ 2 =AN 2+ NQ 2，

即（x+1）2=32+x2，解得x=4．

∴NQ=4，AQ=5．

∵AB=4，AQ=5，

∴S△NAB =S△NAQ =×AN • NQ=××3×4=．

（3）如答图②，过点A作AH⊥BF于点H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC．

∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，

∴．

∵AH≤AN=3，AB=4，

∴当点N，H重合，即AH=AN时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M，F重合，B，N，M三点共线，如答图③．

由折叠的性质，得AD=AH．

∵AD=BC，∴AH=BC．

在△ABH和△BFC中，

∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH．

由勾股定理，得BH===，

∴CF=，∴DF的最大值为DC-CF=4-．

① ② ③

（第26题答图）　

27．解：（1）由顶点为A（1，2），设抛物线的表达式为y=a（x-1）2+2．

∵抛物线经过原点，∴0=a（0-1）2+2，解得a=-2．

∴抛物线的表达式为y=-2x2+4x．

（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx．

∵h=-，∴b=-2ah，∴y=ax2-2ahx．

∵顶点A（h，k），∴k=ah2-2ah2=-ah2．

∵抛物线y=tx2也经过A（h，k），

∴k=th2，∴th2=ah2-2ah2，∴t=-a．

（3）∵点A在抛物线y=x2-x上，∴k=h2-h．

又∵k=ah2-2ah2，∴h=．

∵-2≤h<1，∴-2≤<1．

①当1+a>0，即a>-1时， 解得a>0；

②当1+a<0，即a<-1时， 解得a≤-．

综上所述，a的取值范围是a>0或a≤-．

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