数学与诗歌

作者：方亚斌工作室

      数学是冰冷的科学，以严肃的理性锤炼人的思维；诗歌是火热的艺术，以活泼的形象抒发人的情感。一个冰冷美丽，一个热情洋溢；一个理性，一个感性；他们是人类文化领域中互相排斥的两种文明成果，也可以看作人类文化领域中的一对矛盾，确实存在差异。但是，数学和诗是否互相依存呢？是否存在联系呢？

“世事洞明皆学问”，一片浮云移动，一次蝼蚁搬迁，常使人联想翩翩。对诗歌的认识和探究，不能停留在表面，如果用数学的思维和方法去认识诗歌、研究诗歌，就会发现诗歌的别样美丽和精彩。

一、用唯一性原理鉴赏诗歌

对诗歌的美学鉴赏常从文学艺术角度思考，很少从理性角度思考。数学中的唯一性就是“有且仅有”的意思，我们用数学中的唯一性来论证诗歌“绝无仅有”“天下绝唱”，可以从理性角度对诗歌美进行新的诠释。

1、丁丁东东的数学

    杭州有名的景点九溪十八涧，林木葱葱，泉水淙淙。清末大文豪俞曲园先生为此写过一首脍炙人口的五言诗句，其中一节这样写道：

重重叠叠山

曲曲环环路

丁丁东东泉

高高下下树

我们把上面四句诗改为下列算式：

以上共4个加法式子，每个汉字都代表了一个阿拉伯数字（在同一个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字）。下面解答这些算式。

（其中A、B、C两两不相等），那么

.

用枚举法可知，此不定方程只有4组解.

即   

上述这四句诗竟然与以下4个式子成一一对应，每一句有且仅有唯一组解与之对应，由此可见该诗歌的绝妙。

2、我轻轻的走了，数学悄悄的来

徐志摩在名作《再别康桥》中写道：

轻轻的，我走了，

正如我轻轻的来……

我们将数学渗入诗的领域，把这两句诗编成了算式：

在这里，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，下面解答此方程组。

解 要使，则“轻轻的”.

（1）当“轻轻的”时，则走了. 显然“我”只能为1、4、9.

① 当“我”时，则“走了”，此时“了”=“轻”，不合题意.

② 当“我”时，则“走了”，此时“我”=“走”，不合题意.

③ 当“我”时，则“走了”. 此时

“正”―“如”÷÷.

于是. 又因“走”，则“来”.

所以，“正”―“如”÷，从而“正”，“如”.

（2）当“轻轻地”时，则走了. 显然“我”只能为9. 于是 “走了”，此时“走”“地”，不合题意.

可见原来方程组有且仅有唯一解，这也是该诗扬名文坛的原因。

3.数学，教我如何不想你

刘半农的名作《教我如何不想他》，我们将此诗句改编成算题：

相同的汉字代表相同的数码，不同的汉字代表不同的数码，下面对解答这一算式。

解：令“教”,“我”,“如”,“何”,“不”,“想”,“他”，

两两不相等的。由以上算式可得：

当时，

取最大值2071328.

如，这与矛盾。

易知，所以，即.

①当时，则，又（无解）；

②当时，则.

此时.

于是.此时

由.又.

即“教我如何不想他”分别对应“1、5、7、2、8、3、6”.

③当时，则（无解）；

④当时，则（无解）；

⑤当时，则（矛盾）；

⑥当时，则（无解）；

⑦当时，则（无解）；

⑧当时，则，则

（无解）；

⑨当时，则（无解）；

可见，上述算式有且仅有唯一解，这也是该诗成为名篇数学依据。

二、用数学方法思考名言警句

提到名言警句就说，自然想到那是文学，不是生活。其实有些名言符合生活，有些名言脱离生活，下面利用数学知识对一些名言警句进行理性思考。

1．积土能成山，积水能成渊

荀子在《劝学》中说“积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。……锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。”意在奉劝世人努力学习,坚持不懈,日积月累,终会聚沙成塔。下面我们用数学方法来回答“积土成山”的正确性。

解答：假如第1天积土量为，第2天积土量为，第天积土量为.

（1）如果每天积土量是固定常数1kg，即，

那么，当时，.

所以，成年累月永不休止地积聚下去，肯定能堆积成山。

（2）如果每天积土量不是固定常数，而是上下波动，第天积土量为，

那么

当时，.

所以，成年累月永不休止地积聚下去，确实也能堆积成山。

（3）如果每天积土量不是固定常数，而是天天递减，第天积土量为，

.

因

则，显然，当时，.

所以，成年累月永不休止地积聚下去，依然能堆积成山。

2．聚沙成塔贵在持之以恒

《妙法莲华经·方便品》中这样写到：“┅┅若于旷野中，积土成佛庙，乃至童子戏，聚沙为佛塔，如是诸人等，皆已成佛道。”类似的励志名言警句很多，如“锲而不舍，金石可镂”，“涓涓细流，汇成江河”。这些励志的名言旨在奉劝人们只要一点一滴地积累，终会成功。

但是，真要实现聚沙成塔，还是需要一定条件和前提。下面以一个学习者为例，我们令每天的积沙量为学习成效，积沙总量为学习目标。如果学习者每天的学习效率不相同，而且逐渐下降，仅靠坚持不懈，还能实现自己的远大的目标吗？

解答：假设学习者第1天豪情万丈，学习成效为，第2天学习成效为（），…，第天学习成效为。第天学习成效之和.

则.

如果我们拟定的目标大于，即使学习者每天的成效下降太多，即使终身坚持不懈，他也无法实现目标。况且人的生命是有限的。在有限的生命中，要实现远大的目标，不仅需要坚持不懈的奋斗，更重要的是持之以恒。

3．欲穷千里目，需上几层楼？

登鹳雀楼

唐 王之涣

白日依山尽，黄河入海流。

欲穷千里目，更上一层楼。

诗歌不仅刻画了祖国壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”这一哲理，因此成为千古名句。如果从数学角度思考，欲穷千里目，需上几层楼呢？下面我们对此进行探究:

把地球看作一个球体，赤道半径，设O为地球球心，人的初始位置为M点，N为人登高后的位置，弧AM的长度为500km（即1千里），如图。

令，则，

（km）

（km）

现在的住房每层楼高约，商铺每层楼高约，

所以，欲穷千里目，如果是住房，需要登6210层；

如果是商铺，需要登3487层。可见，“欲穷千里目，更上一层楼”

虽是名句，却脱离实际，这表明：文学源于生活，也高于生活。

三、用放缩法裁剪诗歌

放缩法在数学中运用很广泛，例如，如果要证明不等式成立，可以把A缩小为B，只需即可；如果要证明不等式成立，可以把A放大B，只需证明即可；在数学中，利用放缩法通过对代数式进行放大或缩小，依然可以解决原来的问题。我们想，用放缩法对诗歌进行裁剪处理，诗歌是否还能保持原来的风味和内涵。且看以下几首诗歌：

1．凉州词

唐 王之涣

黄河远上白云间，一片孤城万仞山。

羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关。

利用放缩法，将原诗第一句删除一个“间”字，得到以下一首词：

黄河远上，白云一片，孤城万仞山。羌笛何须怨，杨柳春风，不度玉门关。

这首词描写风景和抒发作者情感，与原诗完全相同。

2．清明

晚唐 杜牧

清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。

借问酒家何处有，牧童遥指杏花村。

利用放缩法，将原诗每一句都删除一个字，得到一首新词：

清明节，雨纷纷，路上人，欲断魂。

问酒家，何处有，牧童指，杏花村。

这首词描写清明雨景和抒发作者情感，与原诗完全相同。

3．不第后赋菊

唐末 黄巢

待到秋来九月八，我花开后百花杀。

冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲。

利用放缩法，将原诗每一句都删除一个字，得到一首新词：

待到秋，九月八，我花开，百花杀。

冲天香，透长安，满城带，黄金甲。

这首词描写作者落第的心情和对未来的理想抱负，与原诗完全相同。

4．宿建德江

唐 孟浩然

移舟泊烟渚，日暮客愁新。

野旷天低树，江清月近人。

利用放缩法，将原诗每一句都增加两个字，得到一首新词：

移舟款款泊烟渚，日暮沉沉客愁新。

野旷茫茫天低树，江水清清月近人。

这首词写景抒情，比原诗更为真切。

四、用诗歌描述数学的概念、思想和方法

用诗歌描述数学中的概念、思想、方法既利于学习者学习，又缩短了数学与诗歌之间的距离。

1、几何（沁园春）

几何内容，丰富多彩，作用非凡。忆华夏上下，论著篇篇；古今中外，群星灿灿。测土量地，窥天算历，助推飞船与火箭。待来日，看充实发展，更趋完善。

点线如此多艳，引无数娇子竞钻研。昔墨翟荀卿，谈方论圆；蒙日欧拉，激发质变。毕达哥那，笛卡费马，又使数形把姻联。俱往矣，要发扬光大，还靠少年。

一些数学方法也常用诗歌描述。常听教师吟诵：“同类项、同类项，只需系数相加减，字母指数照原样”，这就是“合并同类项”的口诀，下面介绍两首关于解题方法的诗词。

2、求函数定义域（满江红）

研究函数，定义域，首要问题。那求法，努力掌握，小心仔细。常用原则弄清楚，“解析式子有意义”。偶根式，号内值非负，先牢记。

见分式，析分母，不为零，条件齐。对数真数，恒正乃必须。有限函数作运算，定义域当求交集。再注意，理论联实际，常温习。

3 、二次方程的实根分布歌

方程实根存在性，函数值，正负定；

二次函数开区间，端点值，符号反；

有且仅有唯一根，各类分布作支撑；

开区间，有一根，端点作根要验证；

解题快，加推论，考问区间有两根；

闭区间，怎么办？端点分离单独算；

分类多，讨论繁，数形结合最简单。

4 、两类数列通项裂项歌

等差乘积整式龙，添首加尾两新龙；

整龙翻身分式龙，去首去尾见两龙；

新龙作差细端详，添加系数乃通项；

注释：如果是等差数列，那么通项公式为（整式龙），

可以拆项为；

通项公式为（分式龙），

可以拆项为

五、用数学思想、方法度量诗歌的写作形式

1、“杨辉三角”与“宝塔诗”

“杨辉三角”反映了二项式展开项系数的变化规律，在西方称为“帕斯卡三角形”，其形式像一座宝塔。

在诗歌中有类似“杨辉三角”的“宝塔诗”，《会真记》（《西厢记》的母体）的作者曾写过：

茶

香叶，嫩芽。

慕诗客，爱僧家。

碾雕白玉，罗织红纱。

铫煎黄蕊色，碗转曲尘花。

夜后邀陪明月，晨前命对朝霞。

说尽古今人不倦，将如醉后岂堪夸。

显然，用数学思想、方法度量诗歌的写作形式，可以营造奇异美。

2、圈儿信

据说，清末年间有一位姓丁的青年，幼时上过几年私塾，后来娶了一位聪明的妻子，夫妻恩爱万分，因水旱频频，家境艰难，小丁离乡背井外出谋生。一去数年，他老婆思念丈夫，便托人带了一封家书。信果然带到了，不料信上没有一个字，只是满篇圈儿(见下图)。送信人不知其意，以为弄错了，岂知小丁看了此图，心中大喜，连连道谢。试问：如何解读圈儿信？

（古代书信写法自右向左）

后人用诗歌将此信诠释如下：

相思欲寄从何寄？

画个圈儿替。

话在圈儿外，

心在圈儿里；

单圈儿是我，

双圈儿是你；

你心中有我，

我心中有你；

月缺了会圆，

月圆了会缺；

我密密加圈，

你须密密知我意；

还有那说不尽的相思，

把一路圈儿圈到底。

自从数学家莱普尼兹创立符号后，大大推动了数学的发展，如空间向量的记号，极限符号，积分符号等等。“圈儿信”的奇异表述，正是数学符号思想的闪烁。

六、用数学思维方式解析诗歌的意境

1．数字与漫天雪舞

郑板桥的《咏雪》：

一片二片三四片，

五片六片七八片；

千片万片无数片，

飞入梅花总不见。

利用单调递增的整数，由少变多，表现雪花的多、密以及飞舞的动态，抒发了诗人对飞雪的感受。

2．孤帆远影与极限

李白《送孟浩然之广陵》：

故人西辞黄鹤楼，

烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽。

唯见长江天际流。

用“孤帆远影碧空尽”来表现一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神。

3．三维空间的表示

初唐诗人陈子昂的名句《登幽州台歌》：

前不见古人，

后不见来者；

念天地之悠悠，

独怆然而涕下。

语文解释说：上两句俯仰古今，写出时间绵长；第三句登楼眺望，写出空间辽阔。在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞悲哀苦闷的情绪，两相映照，分外动人。从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间）。陈老先生以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。

4．一支红杏与无界

宋朝叶绍翁的《游园不值》：

应怜屐齿印苍苔，

小扣柴扉久不开。

满园春色关不住，

一支红杏出墙来。

无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过M。于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围。

思考题

1．司马相如和卓文君结为夫妇后，进京为官，其后忘乎所以，很久未写家信。文君思念丈夫，写词一首以表达自己的思念之情。

〇别之后，〇地相思，只说是〇〇月，又谁知〇〇年，〇弦琴无心抚弹，〇行书无信可传，〇连环从中折断，〇里长亭我望眼穿。〇思念，〇思念，〇般无奈叫苍天。

〇言〇语把君怨，〇无聊赖，〇倚栏杆。〇月重阳看孤雁，〇月中秋，月圆人未圆。〇夕银河鹊桥断，〇月炎天，人人摇扇我心寒。〇月端阳，怕把龙舟看，〇月桑芽懒养蚕。〇月春风打桃花散，〇地相思，〇片痴心，梦里到关山。

请在“〇”内填上合适的数字？

2．宋代女诗人朱淑真，得知在外经商的丈夫另有新欢之后，终日悲愤，常寄忧怨于诗词。在她临死之前，含泪写下一首愤懑痛绝的《断肠谜》：

下楼来，金簪下落；问苍天，人在何方；恨王孙，一直去了；詈冤家，言去难留；悔当初，吾错失口；有上交，无下交；皂白何须问，分开不用刀；从今莫把仇人靠，千里相思一撇消。

这首“词谜” 每一句不但悲愤凄哀，并且巧妙地隐嵌一个数字，首尾一气，浑成佳句，可谓千古一绝。试破译《断肠谜》每一句中隐藏的数字谜？

研究题

1.我国有著名的风景区“九寨沟”，有价值连城的宫廷器具“九龙杯”，有优美动听的民歌《九妹》，有著名的兵器“九节鞭”，神话小说中有凶残恶毒的“九头怪”……为什么总喜欢用“九”字呢？另外，人们也非常痴迷“七”字、“三”字。这可能有一定的文化渊源？试以“数字文化”为题撰写一篇数学科普文章。

2.选一些古代诗词,用数学方法对其进行鉴赏、反思和放缩法处理。

数学与诗歌