1.3 度量空间的可分性与完备性

在实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png的可分性．同时，实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png还具有完备性，即e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．

1.3.1 度量空间的可分性

定义1.3.1 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是度量空间，168c14599e6977a0fc26e126e0b7fd1d.png，如果9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中任意点e772b3e683eaf655877618b164c1b61e.png的任何邻域5c5795dfd346b8495b61f1a10f001a01.png内都含有7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的点，则称7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密．若84b5a24b23dd58ca2ab5d0c6fed2108a.png，通常称7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的稠密子集．

注1：7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密并不意味着有84b5a24b23dd58ca2ab5d0c6fed2108a.png．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．

定理1.3.1 设997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png是度量空间，下列命题等价：

(1) 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密；

(2) ffbb32e87736143e47f1e33da0f04508.png，c8fbcb2b4c91ebd21b7f9812ec9afe5c.png，使得b32bdae50040d3ff6e365c3a91d978f3.png；

(3) a1839159764022462f5a4da490c534ac.png（其中6f9984eca808aa09e5da7ea04a91042b.png，0a8e8cf8fb77f8e1282adc97cf88ee36.png为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的闭包，25afbb262f05f21764e68827aff00875.png为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的导集(聚点集)）；

(4) 任取afc13fa573c63da11d7dd245535d6d76.png，有dea044c53cd98a32daa70429d309a75a.png．即由以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中每一点为中心1834dcb80855b642c985cbd1b4409b26.png为半径的开球组成的集合覆盖9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png．

证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．

定理1.3.2 稠密集的传递性 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是度量空间，c8fa2922e887df6c6422bcda34bc5b09.png，若7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png中稠密，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png中稠密．

证明 由定理1.1知a1839159764022462f5a4da490c534ac.png，05c4effa7bd9cc07b0db4fb80f3cd3ea.png，而fd7ad38ba4aae23bbc7e651c1a0ce1d0.png是包含9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的最小闭集，所以643bf7c105b1f535264bd82c3a164668.png，于是有ec6528571b1e007af524df8739c50d47.png，即7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png中稠密．□

注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}

(1)多项式函数集69a87766898eaff9fdde5cee2ecc899c.png在连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密．

参考其它资料可知：

(2)连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png在有界可测函数集5901dae4e6a62851b802165ba94588cb.png中稠密．

(3)有界可测函数集5901dae4e6a62851b802165ba94588cb.png在83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密(7746edad1cc22c1332f2d6a2153c25d0.png)．

利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：

(4)连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png在83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密(7746edad1cc22c1332f2d6a2153c25d0.png)．

因此有f2ef81f6319edaf2c49a573590ec5d7f.png．

定义1.3.2 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是度量空间，525e03c996bdcb5f3e1f45e46f44dcf2.png，如果存在点列5461a9a49ff963699366736ae83bc1f4.png，且8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png在7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中稠密，则称7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是可分点集(或称可析点集)．当02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png本身是可分点集时，称02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是可分的度量空间．

注3：02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是可分的度量空间是指在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中存在一个稠密的可列子集．

例1.3.1 欧氏空间8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png的一个可列稠密子集．}

证明 设7cbd9d8d1bcf9fe6bc6c0667d4963a69.png为8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中的有理数点集，显然74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png是可数集，下证74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png在8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中稠密．

对于8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中任意一点1f157b703b5fd275367e2b9b3270423b.png，寻找74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png中的点列63cc7536d38492f721dd058f43dea311.png，其中193cd69429c105d78caa5a963d9e8738.png，使得d9324a1881c0f1d53d2489a201f134ef.png．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png(64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png)，存在有理数列2a5ae5602c915d120c2c015fb4660a3d.png.于是得到74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png中的点列63cc7536d38492f721dd058f43dea311.png，其中

193cd69429c105d78caa5a963d9e8738.png，06f6e44b18dfe575c40b072fb39a3f6b.png

现证d9324a1881c0f1d53d2489a201f134ef.png．84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，由2a5ae5602c915d120c2c015fb4660a3d.png知，2aca26661ab39bd57b0485b5c0863926.png，当079ce429aff9b125195cdac718ce8255.png时，有

710212b948d88fdddfea6e5ec13574c8.png，64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png

取3e6cda8c83bf68a5d6086fa3999f30a3.png，当0c26ec0555e6eb36180b2a643049d9d1.png时，对于64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png，都有710212b948d88fdddfea6e5ec13574c8.png，因此

b5e9a2fada3537c9cef0c1ebde7e029b.png

即d9324a1881c0f1d53d2489a201f134ef.png，从而知74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png在8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中稠密．□

例1.3.2 连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png是可分的．{具有有理系数的多项式的全体18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密，而18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png是可列集．}

证明 显然18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png是可列集．98af8698e044b414453ddd5156dfa1c3.png，由Weierstrass多项式逼近定理知，fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png可表示成一致收敛的多项式的极限，即84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，存在(实系数)多项式5134e449edcd47004d0ad41b57272364.png，使得

f7ce4f4d175a22fca8406530a9de7a59.png

另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式65314479ddcea7b4b3690b6b02cc36dd.png，使得

e08948c184aef183de3f9281a30fc585.png

因此，7287c74069c2654b86e3c8da404d9196.png，即0511c9dd74e307540e28bc8c29f8e198.png，在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中任意点fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png的任意邻域内必有18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png中的点，按照定义知18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密．□

例1.3.3 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png是可分的．

证明 由于18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密，又知d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png在afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密，便可知可数集18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密．□

例1.3.4 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可和的数列空间707a16830ea160db330cd79fc502a005.png是可分的．

证明 取02a98de34b88e5b0b613387d41c80dbe.png，显然50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png等价于3bb6e7d52fd1c0640420fb20d1cdc6d0.png，可知50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png可数，下面证50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png在707a16830ea160db330cd79fc502a005.png中稠密．

d8cf76594832836a7e0ddce66f97952a.png，有ed4233dd18053613944ee7206524ec8f.png，因此84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，3e2dad667a3abefb0b013319367dab7b.png，当1754694780d6338ae0e49f9574566b34.png时，

b4da63d028aaa2929ce2f0f89b4dc98a.png

又因f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中稠密，对每个05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png(118a1970e27986001f1e8ee0385560b9.png)，存在570cdd9a20c19a705a1ed28f0848be7a.png，使得

c56c823233ac5839edac10ca73b2ea9d.png，e55080354a86f7685d309aeb4c2af3d2.png

于是得

6739b9120f7b06db5c2174b2157e8e05.png

令76f78502964e611e285ec1ad19ee6493.png，则

494db9a224fa3878788daca82c180e69.png

因此50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png在707a16830ea160db330cd79fc502a005.png中稠密．□

例1.3.5 设b4d86e11b050fda38923723358f8f1c8.png，则离散度量空间c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png是不可分的．

证明 假设c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png是可分的，则必有可列子集7ea539fa919fc881cfa742e799ef1573.png在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中稠密．又知02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png不是可列集，所以存在e8d1c08e5416d8b11bde727b84ce3a0b.png，b8c0c70ad6148eb7b98ff8227b62dd2a.png．取32d13e77b5069a6f540c7d874aeb3494.png，则有

aecf891756fa3af267f86e6d0d345fdd.png

即829ddd3549d04b68c8b871c8c24dadcc.png中不含8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png中的点，与8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中稠密相矛盾．□

思考题: 离散度量空间c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png可分的充要条件为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是可列集．

注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如

(0.625)10=(0.101)2 0.6256392228661363e75c352077a2cfe66d7.png2=1.25取1；0.256392228661363e75c352077a2cfe66d7.png2=0.50取0；0.56392228661363e75c352077a2cfe66d7.png2=1.00取1．

二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即54d234ff71bcb0c20877a56aa0f39ed3.png，例如

(0.101)2=2d9ae724384326e3b094814699c8d31b.png．

因此ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png与子集7172c11681d4bf1f1733c1983b6ddf15.png对等，由ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png不可数知7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png不可列．

例1.3.6 有界数列空间cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png是不可分的．

fd5c17ddb268404294c0c47fb57166c0.png，对于76da49ee6ed362cf024943f09d5deed9.png，1949d3a3373b5f4a1fa08e300640b48a.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngcd1766de9948e22901954d33f18daae1.png，距离定义为d47d3756bdc1f024b434783ae2a8515c.png．

证明 考虑cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png中的子集7172c11681d4bf1f1733c1983b6ddf15.png，则当53ffa75527ac525e56bae444e4ae46e1.png,095150e6a8c5a35982f5f34e66ebe243.png时，有bb32c7e4309079958b5329ef03273f1e.png．因为ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png中每一个实数可用二进制表示，所以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png一一对应，故7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png不可列．

度量空间的可分性与完备性[内容详细]