01.第一讲 巧切西瓜(答案)
发布时间:2019-05-05 08:51:08
发布时间:2019-05-05 08:51:08
第一讲 巧切西瓜
1. 现在有半个西瓜,平放在桌子上,由你来切。条件是只允许竖直地切,不允许横着切,也不允许斜着切。问问你:切两刀最多能把这半个西瓜切成几块?切三刀呢?
图8-1-1竖着切,可以! 图8-1-2 横着切,犯规! 图8-1-3 斜着切,也犯规!
解答:
让我们拿出一张纸,既然只能竖着切,那么用一个圆就可以表示半个西瓜,用一条直线就能表示每一刀怎么切,这样想就简单多啦,而不用拿着真的西瓜乱切了!
首先第一刀怎么切呢?我们画一下,就会发现原来第一刀怎么切都一样,只能将西瓜切成两块,如右图9-0-4。 图8-1-4 一刀只能切成两块
那么第二刀怎么切呢,我们可以想出两种切法。第一种切法如图9-0-5,如果第二刀和第一刀不相交,只能把西瓜切成了三块;第二种切法如图9-0-6,第二刀和第一刀相交,那么把西瓜切成了四块。经过试验小明知道了,竖着切两刀至多可 图8-1-5 两刀可以切成3块
以把西瓜切成四块!
两刀的切法解决了,再解决三刀的切法就大功
告成啦!
其实呢,三刀的切法在前两刀切法的基础上再
切一刀就行了。只要我们继续试验,发现第三刀共 图8-1-6 两刀最多切成4块
有三种不同切法,第一种切法如图9-0-7,第三刀与前两刀都不相交,结果切成了5块;第二种切法如图9-0-8,第三刀只与前两刀中某一刀相交,结果切成了6块;第三种切法如图9-0-9,第三刀与前两刀每一刀都相交,结果切成7块。
图8-1-7 切成5块 图8-1-8 切成6块 图8-1-9 切成7块
原来,竖着切三刀最多可以将西瓜切成7块!
评论:
注意:如果想使切成的块数最多,切每一刀的时候就要使它和前面的每一刀都相交!
2. 半个西瓜,竖着切5刀,最多能切多少块?竖直切9刀呢?
解答:
从前面我们的切法中可以知道,要想使切出的块数最多,就必须使每一刀都与以前每一刀尽量相交。
我们在前面切三刀的解法的基础上再切第四刀,并让第四刀与前三刀都相交,发现最多可以切11块,如图9-1-1;然后再切第5刀,并且与前四刀也都相交,如图9-1-2,可以看出,竖直切5刀,最多可以切成16块。
图8-2-1 4刀最多切成11块 图8-2-2 5刀最多切成16块
5刀的问题我们解决了,但是如果继续切到9刀,画图的难度似乎越来越大了。别着急,我们先回过头来观察一下已经得到的结论,看看有没有什么规律呢?
我们把竖直切的刀数和最多能切出的块数排列如下;
刀数 最多切的块数
0 1=1
1 1+1=2
2 1+1+2=4
3 1+1+2+3=7
4 1+1+2+3+4=11
5 1+1+2+3+4+5=16
… …
n 1+(1+2+3+…+n)= ?
经过仔细观察分析,我们发现有这样的规律:
最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+…+n
在这里还有一个规律:1+2+3+…+n = (1+n)×n÷2,你发现了没有?(以后我们会详细研究等差数列的,大家可不要小看等差数列呦)
所以:最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+…+n = (1+n)×n÷2 + 1
有了这个规律,我们就不用去切9刀或者画9刀了,我们可以直接算出来,竖着切9刀最多可切出的块数为:
1+(1+9)×9÷2 = 1 + 45 = 46(块)
注意:我们这个规律只适合竖着切的情况,其他情况(横着切或斜着切)就不成立了!
3. 一块月饼,要切成11块,竖着切最少要切几刀?
解答:
切一块月饼和切半个西瓜其实是一样的,大家发现了吗,这两种情况下,我们在纸上画的都是用直线分割圆。我们可以根据前面总结出的规律,列出那个表来,找到切11块需要切几刀:
1刀: 1+1=2(块)
2刀: 1+1+2=4(块)
3刀: 1+1+2+3=7(块)
4刀: 1+1+2+3+4=11(块)
……
于是可以知道,把一个月饼竖着切成11块,至少需要4刀。
4. 一块月饼,要切成20块,竖直切最少要切多少刀?
解答:
我们接着考察前面表中的列出的数据:
1刀: 1+1=2(块)
… …
5刀: 1+1+2+3+4+5=16(块)
6刀: 1+1+2+3+4+5+6=22(块)
… …
我们发现5刀至多能切出16块,而6刀则最多可以切出22块,所以我们可以知道,要切20块的话,5刀肯定不行,6刀则可以完成任务。因此,至少需要竖直地切6刀。
注意: 表中只列出了最多的可能,例如6刀最多可以切出22块,那么6刀当然可能切出20块,想一想怎样切?而且,6刀也能切出18块呢。再想一想,6刀最少可以将西瓜切成几块?
5. 你能把一块豆腐切3刀,切成8小块吗?怎样切?
解答:
同学们要认真读题哦,题目并没有要求我们像以前那样竖直切下去,这次是可以斜着或者横着切的。而且如果竖直切的话,3刀至多切出7块,也是切不出8块来的。
所以我们可以先竖着切然后再横着切,如果我们竖直切两刀可以切成4块,再横切一刀分成两层就变成了4×2=8块。而从前面可以知道,竖着切两刀,最多切出1+1+2=4块,因此是可以做到题目的要求的。如下图:
第一刀 第二刀 第三刀
6. 小明过生日,要把一个大蛋糕分成12块,想一想,小明要怎样切,最少切几刀?
解答:
最少要切4刀。如下图,先竖着切3刀,再横着切一刀。
想一想,还有别的切法吗?
7. 一个长方形,用剪刀剪下一个角,还剩多少个角?
解答:
与剪的方式有关,可能剩下5个角,4个角,或者3个角,如图(右上角是被剪掉的角):
还剩5个角 还剩4个角 还剩3个角
8. 三个完全一样的圆,最多可以将平面分成几部分?
解答:
仿照例7的思路,仍然从一个圆的简单情形开始考虑,做出图形来参考,如下图分别为一个、二个、三个相同的圆最多可以将平面分成几部分。发现与例题非常类似,新画的圆和原来的圆交点越多,划分出的部分越多。如图可知三个同样的圆最多可以将平面分成8部分。
9. 一块豆腐,四刀切成十二块,怎样切?方法唯一吗?
分析与解答:
如果竖着切4刀,无法切成12块!(为什么?)鉴于前面两题的经验,我们先横切一刀将豆腐分成上下两层,然后再竖切三刀将豆腐切成六块就可以了。由于竖切三刀最多能将豆腐切成1+1+2+3=7块,所以切成6块也是可以的。如图9-6-1,从顶上3刀已经将豆腐切成6块,再横切一刀就可以得到6×2=12块了。
图9-6-1 图9-6-2
另解:
在例5答案的基础上,再横切一刀,这样一共3层,每层4块,一共4×3=12块,如图9-6-2,这样的切法也是满足要求的。
10.两个完全一样等边三角形,可以把一个平面分成多少个部分?最多呢?
分析与解答:
从最简单的情况开始思考,边想边画。
注意:一个三角形可以将一个平面分成两个部分——内部和外部!
如图9-7中,两个相同的等边三角形,可以根据相对位置的不同将平面分成3,4,5,6,7,8个部分。经过试验可以知道,同切西瓜类似,让三角形的边的交点越多,那么分出的区域也越多。所以最后答案为8,如图。
一个三角形分平面成2部分 两个三角形分平面成3部分
两个三角形分平面成4部分 两个三角形分平面成5部分 两个三角形分平面成6部分
两个三角形分平面成7部分 两个三角形分平面成8部分
图9-7 三角形是如何划分平面的
11. 两个同样大小的正方形,最多能将平面分成多少个区域?
解答:
与例7类似,交点越多越好。最多可以将平面分成10个区域,如图。
12.一个五角星,一刀最多能切掉几个角?想一想,怎样才能一刀切掉5个角呢?
解答:
(1) 一刀最多能切掉2个角,如图:
(2) 因为五角形是对称图形,可以沿图中虚线先把五角星折起来,然后就可以一刀切掉5个角了: