2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

发布时间：


~ 2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）
及答案
（时间：5月16日18：40～20：40）
满分：120分
一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
1．已知M {x|x3n,nZ},N{x|x3n1,nZ},P{x|x3n1,nZ}，且aM,bN,cP，设dabc，则d （ ）
A. M B. N C. P D.MP 2.函数fxx2x41x是（ ）
A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数 C既是奇函数又是偶函数 C既不是奇函数也不是偶函数
3.已知不等式m＋(cosθ－5m＋4sinθ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ） 222A. 0≤m≤4 B. 1≤m≤4 C. m≥4或x≤0 D. m≥1或m≤0 4.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长，若cosAsinA2ab的值是（ ） 0，则cosBsinBcA.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 ab0, 那么 a21 的最小值是
b(abA. 2 B. 3 C. 4 D. 5 sinAcosA6．设ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则tanC的取值范围是
sinBcosBtanC （ ）
51 2515151C. (, D. (,．
222A. (0, B. (0,二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数f(xsin2xe
|sinxcosx|的最大值与最小值之差等于 。


~ 9.设函数f:RR,满足f(01，且对任意的x,yR，都有f(xy1
f(xf(yf(yx2，则f(x________________。
10.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分
211．已知数列{an}的前n项和Snn，某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角的大小是 . 12.已知xN*,f(xx1x2x99x100的最小值等于

13.设f(xmin2x4,x21,53x，则maxf(x 14.已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
①④

α∥ca∥c⇒a∥α；；②
α∥cβ∥c⇒α∥β；③
a∥cb∥c⇒a∥b；⑤
α∥γβ∥γ⇒α∥β；. ⑥

α∥γa∥γ⇒a∥α
a∥γb∥γ⇒a∥b
其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上．
15、已知数列a0,a1,a2,...,an...,满足关系式(3an1(6an18且a03，则111... a1a2anC(0,3，D(1,3及一个动点P，16.在平面直角坐标系内，有四个定点A(3,0，B(1,1，则|PA||PB||PC||PD|的最小值为 ．
三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）
17．（本题满分16分）已知向量a(cosx,sin（1）求ab及|ab|；
（2）求函数f(xab-|ab|的最小值。 18已知数列{an}中各项为：
12、1122、111222、……、111222 、 ……
n32311且x[0,]. x，b(cosx,sinx，2222个
n个



~ （Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn . 19．设f(x是定义在R上的函数，若f(02014 ，且对任意xR，满足 f(x2f(x32x，f(x6f(x632x，求f(2014的值． 答案 1．已知M={x|x3n,nZ},N{x|x3n1,nZ},P{x|x3n1,nZ}，且aM,bN,cP，设dabc，则d （ B ）
A. M B. N C. P D. MP
2.函数fxx2x4x1是（ A ）
B.是奇函数但不是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数
2 A.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
223已知不等式m＋(cosθ－5m＋4sinθ≥0恒成立，则实数m的取值范围是 C
A. 0≤m≤4 4B. 1≤m≤4 C. m≥4或x≤0 D. m≥1或m≤0 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长，若cosAsinA2ab的值是 0，则cosBsinBcA. 1 B. 2 C. 3 C. 2 解：由cosAsinA20得，2sin(AcosBsinB422sin(B40 即sin(A4sin(B41，由正弦函数的有界性及A,B为三角形的内角可知，
sin(A44absinAsinB2 ∴c1且sin(B1，从而AB4，∴C2
5. 设 ab0, 那么 a2
1 的最小值是答: [ C ] b(abA. 2 B. 3 C. 4 D. 5
a2a1(b2a2, 解：由 ab0, 可知0b(ab424


~ 所以， a214a224. 故选 C．
b(abasinAcotCcosA的取值范围是
sinBcotCcosB6设ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则 （ C ）
51 2515151C. (, D. (,
222[解] 设a,b,c的公比为q，则baq,caq2，而
A. (0, B. (0,sinAcosAsinAcosCcosAsinCtanC
sinBcosBsinBcosCcosBsinCtanC

sin(ACsin(BsinBbq．
sin(BCsin(AsinAa因此，只需求q的取值范围．
因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca．即有不等式组
22aaqaq,qq10,即2 2aqaqaqq10.1551q,22解得 q51或q51.22从而51515151q，因此所求的取值范围是(,． 22227.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为: 6 8．函数f(xsin2xe|sinxcosx|的最大值与最小值之差等于1e2|sin(x|42。
2|sinxcosx|sin2xe解：f(xsin2xe，从而当x24时取最大值1e
当x4时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于1e
9、设函数f:RR,满足f(01，且对任意的x,yR，都有f(xy1=


~ f(xf(yf(yx2，则f(x________________。
9、解：对x,yR,有f(xy1f(xf(yf(yx2,
有f(xy1f(yf(xf(xy2
f(xf(yf(yx2=f(yf(xf(xy2
即f(xyf(yx,令y0,得f(xx1 10正方体的六个面所在平面把空间分成 27 部分
211．已知数列{an}的前n项和Snn，某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角的大小是 ▲2 . 3*12．已知xN,f(xx1x2x99x100的最小值等于------2500-----）




13、设f(xmin2x4,x21,53x，则maxf(x 解析.作图比较容易得到 maxf(x2。
14．已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
①④

α∥ca∥ca∥c⇒a∥α；；②
α∥c⇒α∥β；③
β∥c⇒a∥b；⑤b∥c
α∥γ⇒α∥β；. ⑥β∥γ

α∥γa∥γ⇒a∥α
a∥γ⇒a∥b
b∥γ其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上．
解析 ②中a、b的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．
答案 ①③④⑤
15、已知数列a0,a1,a2,...,an...,满足关系式
(3an1(6an18且a03，则111... _____ a1a2an、解：设bn111,n0,1,2,...,则(3(618, anbn1bn


~

即3bn16bn10.bn12bn,bn113112(bn 33故数列{bn}是公比为2的等比数列，
13bnn1111112n(b02n(2n1bn(2n11。 33a0333nn1n211i112(2n11b(21(n12n3。 i321ioaii0i033
DPFC16在平面直角坐标系内，有四个定点A(3,0，B(1,1，C(0,3，D(1,3及一个动点P，则|PA||PB||PC||PD|的最小值为__________． 3225． 【解答】
如图，设AC与BD交于F点，则 |PA||PC|≥|AC||FA||FC|，
BA|PB||PD|≥|BD||FB||FD|．
因此，当动点P与F点重合时，
|PA||PB||PC||PD|取到最小值|AC||BD|3225．
17．（本题满分16分）已知向量a(cosx,sin32311x，b(cosx,sinx，且222x[0,]. 2（1）求ab及|ab|；
（2）求函数f(xab-|ab|的最小值。 17.解(1ab(cosx,sin311x(cosx,sinx 2223131cosxcosxsinxsinx
22223213cosxx 2 ………………… 5分 2cos2x|ab|2|a|22ab|b|212cos2x1222cos2x14cos2x
|ab||ab|22|cosx|2cosx2……… 10分 x0,,cosx02(2由(1 得fxcos2x2cosx2cosx2cosx1,



~ 131,则gt2t2t12t 设tcosx0，2222①当0时,gtming01,不合题意; 311,解得或(舍; 22235③当1时,gtming1143,解得(舍; 2813综上所述,当时fx的最小值为. ……… 16分
22②当01时,gtming21218（本小题满分20分） 已知数列{an}中各项为：
12、1122、111222、……、111222 、 ……
n个
n个
 （Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn .
18.解：（Ⅰ）an1n21(10110n(10n1 (10n1(10n2 99910n110n1 ((1 3310n1记：A = , 则A=333为整数
3n
an= A (A+1 ， 得证 个
12n1n21010 999112 Sn(102104102n(1010210nn 999 (Ⅱ
an1(102n21110n1198n210
89119．设f(x是定义在R上的函数，若f(02014 ，且对任意xR，满足 f(x2f(x32x，f(x6f(x632x，求f(2014的值． ．
19[解法一] 由题设条件知
f(x2f(x(f(x4f(x2(f(x6f(x4(f(x6f(x
32x232x4632x32x， 因此有f(x2f(x32x，故



~ f(2008f(2008f(2006f(2006f(2004 3(2200622004f(2f(0f(0
221f(0
4100311 3f(0
41 220142013． [解法二] 令g(xf(x2x，则 g(x2g(xf(x2f(x2x22x32x32x0，
g(x6g(xf(x6f(x2x62x632x632x0，
即g(x2g(x,g(x6g(x，
故g(xg(x6g(x4g(x2g(x， 得g(x是周期为2的周期函数，
所以f(2008g(200822008g(022008220082007．



2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

推荐内容

相关推荐