《几何原本》的意义及对数学发展的深远影响
发布时间：2023-02-20 23:30:20
第３５卷第５期 广东第二师范学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｖｏ１．３５ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．２Ｏ１５ ２Ｏ１５年１０月 《几何原本》的意义及对数学发展的深远影响 吴维煊 （宿迁经贸高等职业技术学校，江苏宿迁２２３６００） 摘要：《几何原本》不仅是欧几里得的一部不朽之作，也是西方科学文献中最有影响的经典著作 之一．《几何原本》被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范，其伟大意义主要体现 在历史上的意义和在几何学上的意义两个方面，它是用公理方法建立起演绎的数学体系的最早典 范．在几何学发展的历史中，《几何原本》对数学发展的影响主要体现在对几何论证方法的影响和作 为教材的影响两个方面，起到奠基数学科学发展的基石的重要作用． 关键词：《几何原本》；欧几里得；数学发展 中图分类号：Ｏ １１２ 文献标识码：Ａ文章编号：２０９５—３７９８（２Ｏ１５）０５—００９５—０６ ０ 引言 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学成果和精神于一书，使几何学 变成一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑．欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他 的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范．正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》 对数学的发展有着巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．虽然有一些命题和证明是欧 几里得本人的创作，但其主要功绩在于对命题的精心选择，并运用公理法思想把他们按照逻辑次序进行整 理，从而成为西方科学文献中最有影响的经典著作之一． １ 几何原本》的主要内容 《几何原本》共１３卷，总计含有４６０多个命题，这本书不单是讲几何，还有相当一大部分讲了初等数论和 几何式代数．《几何原本》各卷内容见表１． 这些内容又可归属于以下４个方面： １．１ 平面几何 前６卷主要讲平面几何，共１７３个命题． 第１卷内容比较丰富，从必要的初步的定义、公设和公理开始，作为公理演绎体系的第一步代表作，定 义、公设和定理起着基础作用．卷１首先列出２３个定义，接着是众所周知的５个公设和公理．命题１～命题２６ 主要讨论三角形的性质，包括三个全等定理，建立平行线理论，并证明三角形三个内角之和等于两个直角．该 卷其余命题讨论平行四边形、三角形和正方形，特别注意面积关系．最后一个定理是毕氏定理的逆定理．这卷 收稿日期：２０ｌ５－０７－２８ 作者简介：吴维煊，女，江苏连云港市人，江苏宿迁经贸高等职业技术学校副教授，宿迁市数学专业学科带头人，宿迁市数学学 科领军人物，宿迁市职教数学中心组副组长．
广东第二师范学院学报 第３５卷 书的内容是早期毕氏学派发现的． 表１《几何原本》各卷内容一览表 第２卷是只有１４个命题的一个薄本，讨论面积的 变换和毕氏学派的几何式代数． 第３卷有３７个命题，包括中学几何课本中许多关 于圆、弦、割线、切线及有关角的度量的定理． 第４卷只有１６个命题，讨论用直尺和圆规作正三 角形、正四、五、六和十五边形，以及在给定圆内（外）作 这些内接（外切）正多边形． 第５卷对欧多克索斯的比例论做了十分精彩的论 卷号命题数 主要内容 述．欧多克索斯的比例定义：如果有四个量，取第一量 和第三量的任何相等的倍数，取第二量和第四量的任 何相等的倍数，当第一个量的倍数大于、等于或小于第 二个量的倍数时，相应地有第三个量的倍数大于、等于 或小于第四个量的倍数，那么我们就说，第一量与第二 量的比等于第三量与第四量的比．正是这个既可以应 用于可通约的量又可以应用于不可通约的量的理论， 消除了由于毕氏学派发现无理数而产生的“逻辑悖理”，被视为古代数学文献中一件上乘杰作． 第６卷是比例论的应用，把欧多克索斯的比例理论应用于平面几何．其中有关于相似三角形以及比例第 三项、比例第四项和比例中项的作图的基本定理．在第三章中考虑过的二次方程的几何解，命题：三角形的一 个角的平分线，分其对边为两线段，这两线段之比等于另外两边之比．该卷主要研究相似形，但也涉及几何式 代数，包括通过几何作图解一元二次方程． １．２初等数论 第７、８、９卷总共包括１０２个命题，讲的是毕氏学派的算术（即初等数论）．第７卷从求两个或两个以上整 数的最大公约数的方法（今称欧几里得算法）开始，并用它检验两个整数是否互素，其中还有关于数值的比例 理论的～个解释，在本卷中确立了数的许多基本性质．第８卷大部分讲的是连比和有关的几何级数．如果我 们有连比ａ：ｂ＝＝＝ｂ：Ｃ—Ｃ：ｄ，则ａ、ｂ、ｃ、ｄ构成一个几何级数．第９卷中有一些重要的定理．如：任何大于１的整 数能以一种（且本质上仅有一种）方法表示成素数的乘积． 求两个整数的最大公约数的程序称为欧几里得算法．这是因为在欧几里得《几何原本》第七卷开始有这 种算法，虽然人们知道这种算法无疑要比这早得多．此种算法为现代数学中几个推理的基础．它表达成一种 法则的形式，其程序是： 以两个整数中较小的一个除较大的一个，然后以余数除除数．把这个过程继续下去，直到没有余数为止． 这最后的除数就是要求的原来两个正整数的最大公约数． 命题（结论）：设 为两个正整数ａ、ｂ的最大公约数．则存在整数Ｐ和ｑ（不一定是正的），使得 ＋ｑｂ一 ． 命题（结论）：ａ和ｂ是互素的，当且仅当存在整数Ｐ和ｑ，使得ｐａ－ｋｑｂ一１＿１ｊ． １．３无理量理论 第１０卷包含１１５个命题，主要讨论几何式代数中出现的无理量，即讨论与某给定线段不可通约的线段， 并对无理量作了分类． 用欧几里得工具解三个著名问题的不可能性． 直到１９世纪才最终证明：古代的三个著名问题用欧几里得工具是不可能解的．此事实的证明如今能在 许多当代关于方程论的课本中找到．其中证明了：可作图性的判断的必要依据，其本质是代数的．特别是证明
２０１５年第５期 吴维煊：《几何原本》的意义及对数学发展的深远影响 了下面两个定理： 按给定的单位长能用欧几里得工具作图的任何长度的大小是代数的． 按给定的单位长，用欧几里得工具作出这样的线段是不可能的；其长度的大小是带有理系数而不存在有 理根的三次方程的根． 根据第一条定理，画圆为方问题已有结论．因为，如果我们去给定圆的半径为单位长，则所求相等的正方 形的边长为（√ ）．这样，如果此问题用欧几里得工具是可能的，我们就能从单位长作另一条长度为（√ ）的 线段．但是，这是不可能的． 第二条定理使另两个问题得到结论．例如，在倍立方体问题中，取给定立方体的边长为单位长，令．２７表示 所求立方体的边，于是，必定有３５＂。一２．如果这问题能用欧几里得工具解，我们就能从单位长作出长度为ｚ的 另一段．但是，这是不可能的，因为ｚ。一２是带有理系数而不存在任何有理根的三次方程． 我们可由证明某特殊角不能用欧几里得工具三等分，推出一般角也不能这样三等分．于是，三角学中恒 丹 ０ ０ 丹 ０ 等式：ｃｏｓＯ一４ ＣＯＳ。（÷）一３ｃｏｓ（÷），取０—６０。并且令 —ｃｏｓ（÷））即为８ｘ。一６：ｒ一１—０，８ｘ。一６ｘ一１—０． 令ＯＡ为给定的单位线段，以０为圆心，以ＯＡ为半径，作图；并且以Ａ为圆心，以Ａ０为半径作一弧交 圆于Ｂ．于是， Ｂ０Ａ一６０。．设三等分角线即 ＣＯＡ一２０。的一边交圆于ｃ，并且令Ｄ为从Ｃ向ＯＡ所引垂线 之垂足．于是ＯＤ—ＣＯＳ ２０。一ｚ．由此得出：如果一个６Ｏ。角可用欧几里得工具三等分（换句话说，如果ＯＣ可用 上述方法作出），我们就能从单位长ＯＡ作出另一长度为．３２的线段．但是，根据第二定理，这是不可能的，因为 上述三次方程具有有理系数但无有理根． １．４立体几何 第１１、１２、１３卷共７５个命题，研究立体图形的性质．第１１卷首先给出２９个定义，值得注意的是球、圆 柱、圆锥等立体图形，都像现在一样动态地定义为一个平面图形绕轴旋转得出的．关于空间中的直线和平面 的定义、定理，以及关于平行六面体的定理，可在第１１卷中找到．第１２卷考察关于面积和体积的定理，证明 主要依据欧多克索斯的穷竭法．第１３卷讲正多边形的性质，论述了怎样在球内作出５种内接正多面体的问 题，最后证明了正多面体不能多于５种． 