绝密★启用前

2018-2019学年第二学期天一大联考期末测试

高一数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上的指定位置，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ）

A.41 B.42 C.43 D.44

2.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则（ ）

A.6 B.5 C.4 D.3

3.设向量，，若，则实数m的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4.下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（ ）

A. B.

C. D.

5.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ）

A.至少有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球

C.恰好有1个白球；恰好有2个白球 D.至少有1个白球；都是白球

6.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）

A. B.3 C. D.4

7.已知，且，则（ ）

A. B.7 C. D.

8.已知，是不共线的非零向量，，，，则四边形是（ ）

A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.菱形

9.执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（ ）

A. B. C. D.

10.如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）

A. B. C. D.

11.已知，则（ ）

A. B. C. D.

12.已知函数（，），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线，则下列判断正确的是（ ）

A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称

C.函数在区间上单调递增 D.函数的图象关于点对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知变量x，y线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为，则______.

14.已知向量，，则______.

15.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是______.

16.函数在区间上的值域为______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为

（Ⅰ）求的弧度；

（Ⅱ）求的值.

18.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.

（Ⅰ）若，且，求；

（Ⅱ）若，且与垂直，求实数m的值

19.（12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：），并将样本数据分组为，，，，，，，其频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若样本中月平均用电量在的居民有30户，求样本容量；

（Ⅱ）求月平均用电量的中位数；

（Ⅲ）在月平均用电量为，，，的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在的居民中应抽取多少户？

20.（12分）已知函数

（Ⅰ）求的定义域；

（Ⅱ）设是第三象限角，且，求的值.

21.（12分）某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中2018Q1表示2018年第一季度，以此类推）：

（Ⅰ）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；

（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019Q3的销售额.

附：线性回归方程：

其中，

参考数据：

22.（12分）如图所示，在直角坐标系中，点，，点P，Q在单位圆上，以x轴正半轴为始边，以射线为终边的角为，以射线为终边的角为，满足.

（1）若，求

（2）当点P在单位圆上运动时，求函数的解析式，并求的最大值.

天一大联考

2018-2019学年（下）高一年级期末测试

数学·答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.【答案】A

【命题意图】本题考查系统抽样的概念.

【解析】由题知分组间隔为以，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为.

2.【答案】D

【命题意图】本题考查茎叶图及众数和中位数的概念.

【解析】由甲组数据的众数为11，得，乙组数据中间两个数分别为6和，所以中位数是，得到，因此.

3.【答案】B

【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算以及共线的性质.

【解析】，因为，所以.

4.【答案】A

【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期.

【解析】A中，函数，是偶函数，周期为；B中，函数是奇函数，周期；C中，函数，是非奇非偶函数，周期；D中，函数是偶函数，周期.

5.【答案】A

【命题意图】本题考查事件的概念与关系判断.

【解析】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.

6.【答案】C

【命题意图】本题考查平均数与方差的计算公式.

【解析】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.

7.【答案】D

【命题意图】本题考查同角三角函数的关系以及和角的正切公式.

【解析】，，，，.

8.【答案】C

【命题意图】本题考查平面向量的线性运算以及共线的判断.

【解析】，所以且，∴四边形是梯形.

9.【答案】A

【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.

【解析】运行程序框图，，；，；，，此时满足条件，跳出循环，输出的.

10.【答案】B

【命题意图】本题考查几何概型的概率计算.

【解析】设大圆半径为，小圆半径为，则整个图形的面积为，白色部分的面积为，所以所求概率.

11.【答案】D

【命题意图】本题考查三角恒等变换的应用.

【解析】，，

∴原式.

12.【答案】C

【命题意图】本题考查三角函数的图象和性质.

【解析】图象相邻的两个对称中心之间的距离为，即函数的周期为，由得.所以.又是一条对称轴，所以，，得，.又，得，所以.故最小正周期，A项错误；令，，得对称轴方程为，，B选项错误；由，，得单调递增区间为，，C项中的区间对应，故正确；由，，得对称中心的坐标为，，D选项错误

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】4.3

【命题意图】本题考查线性回归方程的性质.

【解析】由表格得到，，将样本中心代入线性回归方程得.

14.【答案】

【命题意图】本题考查平面向量数量积的应用.

【解析】由题意得，.，.

，，

.

15.【答案】4

【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.

【解析】第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，；第4次循环：，；…；S关于i以4为周期，最后跳出循环时，此时.

16.【答案】

【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性和最值.

【解析】

，

，则，

.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.【命题意图】本题考查扇形的面积公式以及诱导公式的应用.

【解析】（Ⅰ）设扇形的半径为r，则，所以.

由可得，

解得.

（Ⅱ）.

.

18.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算及平行与垂直的性质.

【解析】（Ⅰ），，，

.

.

（Ⅱ），，

，.

与垂直，

，

.

.

19.【命题意图】本题考查频率分布直方图、中位数的求法、系统抽样等.

【解析】（Ⅰ）由，得.

所以月平均用电量在的频率为.

设样本容量为N，则，得.

（Ⅱ）因为，所以月平均用电量的中位数在内.

设中位数为a，则，解得，即中位数为224.

（Ⅲ）月平均用电量为，，，的四组频率分别为0.25，0.15，0.1，0.05，

所以从月平均用电量在的用户中应抽取（户）.

20.【命题意图】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用.

【解析】（Ⅰ）由得，，

所以，，

故的定义域为

（答案写成“”也正确）

（Ⅱ）因为，且是第三象限角，

所以由可解得，.

故

.

21.【命题意图】本题考查古典概型的概率计算以及线性回归分析的应用.

【解析】（Ⅰ）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：

，，，，，，，，，.

设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A，事件A包含，，，3种情况.

所以.

（Ⅱ），.

，

.

所以y关于x的线性回归方程为.

令，得（百万元）.

所以预测该公司2019Q3的销售额为122.2百万元.

22.【命题意图】本题考查任意角的定义、平面向量的几何运算、三角恒等变换及三角函数的性质.

【解析】（Ⅰ）由图可知，，.

.

（Ⅱ）由题意可知，.

因为，，

所以.

所以，.

所以

.

当（）时，取得最大值.

河南省天一大联考2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题