2018-2019学年吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区八年级(下)第一次月考数学试卷(解析版)

发布时间：2019-05-12



2018-2019学年吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区八年级（下）10. 点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ） 第一次月考数学试卷
A. B. 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） C. 1.
在 D.

，
，
， 中，是分式的有（ ）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） A. 1个
B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 当x=______时，分式 的值为零．
2. 分式
 有意义的条件是（ ）
A. B. C. D. 12. =______．
3. 下列分式中，最简分式是（ ）
13.
 ，
A. ，
B.

C.
的最简公分母为______．
D.

14.
-
=______．
4. 如果把分式2倍，则分式的值（ ）
 中的x和y都扩大
A. 扩大4倍
B. 扩大2倍 C. 不变 D. 缩小2倍
15. 已知 + =3，求 =______．
5. 若方程

16. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F， - =0有增根，则增根是（ ）
连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 1
④PD= EC，其中正确结论的序号是______． 6. 如图，M是平行四边形ABCD的一边AD上的任意一点，若△CMB三、计算题（本大题共3小题，共36.0分） 的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列大17. 计算：
小关系正确的为（ ） A. （1）

B. ÷（- ）


C. D. 无法确定 7. 如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，（2）

记点C的对应点为C′，若∠ADC′=20°，则∠BDC的度数为（ ） （3）1


A. B. （4）（

） C. D.

8. 如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A. B.

C.

D. 18. 解下列分式方程


ABCD的面积为120cm，正方形AECF的面积为50cm，则菱形的边长为（
）（1）

 9. 如图，菱形22 = （2）

= -2 A. 10cm B. 13cm

B. 15cm D. 24cm

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19. 先化简再求值：（ + ）÷，其中a=2．


四、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
20. 新定义：|a，b|为分式 （a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若|m，m-2|“关联数”的分式的值为0，解关于x的方程 =1．


CF=AE，21. 在▱ABCD中，过点D作对DE⊥AB于点E，点F在边CD上，连结AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若CF=6，BF=8，DF=10，求证：AF是∠DAB的角平分线．

22. （1）问题发现
DE∥AC，CE∥BD．如图①，▱ABCD的对角线相交于点O，可知：四边形OCED是______（不需要证明）．
（2）类比探究
如图②矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．四边形OCED是______，请说明理由． （3）拓展应用
BC=4，DE∥AC交BC的延长线于点F，CE∥BD．如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠ABC=60°，求四边形ABFD的周长．






AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，23. 如图，在等腰梯形ABCD中，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动时间为t秒．
（1）求证：当t= 时，四边形APQD是平行四边形；
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由； （3）当PD=PQ时，求t的值．

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答案和解析
1.【答案】B 【解析】
考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式． 相同的因式从而进行约分． 4.【答案】B 【解析】
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：B．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意π不是字母，故2.【答案】B 【解析】
解：把分式=中的x和y都扩大2倍后得： =2•，
即分式的值扩大2倍． 故选：B． 把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基不是分式．
解：根据题意得，x-1≠0， 解得x≠1． 故选：B．
本性质化简即可．
根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
根据分母不等于0列式进行计算即可得解． 从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零；

5.【答案】C 【解析】
解：分式方程-=0，
最简公分母x（x-2），
（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 3.【答案】B 【解析】
2去分母得：4-x=0，
2整理得：x=4，
解：A．B．C．D．故选：B．
==，不符合题意；
2， 解得：x=±把x=2代入x（x-2）=0，
则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为-2．
不能约分，是最简分式，符合题意；
故选：C．
===，不符合题意；
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，去分母整理得到方程的增根．
=x-y，不符合题意；
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此逐一判断即可得．
6.【答案】C 【解析】
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解：作MN⊥BC于N；如图所示：
∵S平行四边形ABCD=BC•MN，△CMB的面积=BC•MN， ∴△CMB的面积=S平行四边形ABCD，
故选：C．
首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键． ∴△CMB的面积=△CDM的面积+△ABM的面积， 9.【答案】B 【解析】
即S=S1+S2； 解：因为正方形AECF的面积为50cm2，
故选：C．
所以AC=cm，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
由平行四边形ABCD的面积和△CMB的面积的计算，得出△CMB的面积=S平行四边形ABCD，所以BD=cm，
即可得出结论．
所以菱形的边长=cm．
本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积、三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形故选：B．
的性质，得出平行四边形和三角形之间的面积关系是解决问题的关键． 7.【答案】A 根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【解析】
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 解：由折叠的性质，得∠BDC=∠BDC′， 10.【答案】C 则∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-20°， 【解析】
∵∠ADB+∠BDC=90°， 解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°， ∴∠BDC-20°+∠BDC=90°， 解得∠BDC=55°． ∵四边形ABCD为正方形， 故选：A．
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， 由折叠的性质可知∠BDC=∠BDC′，故∠ADB=∠BDC′-∠ADC′=∠BDC-20°，根据由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°， ∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC． ∴∠APD+∠EPF=90°， 本题考查了折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC=90°列方程求解． ∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中， 8.【答案】C 【解析】
∵，
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm， ∴△APD≌△FEP（AAS）， ∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°， ∴AP=EF，AD=PF， ∴BC==5（cm），
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF， ∴AE×BC=BO×AC ∴AP=BF，
故5AE=24， ∴BF=EF，又∠F=90°， 解得：AE=．
∴△BEF为等腰直角三角形， ∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°， 第4页，共8页

则∠CBE=45°． 故选：C．
过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对13.【答案】6x2y2 【解析】
解：，，2222的分母分别是2xy、3x、6xy，故最简公分母为6xy．
22故答案为6xy．
确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键． 11.【答案】3 【解析】 解：分式∵x≠-3， ∴x=3．
故当x=3时，分式故答案为3．
分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可． 由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 12.【答案】-
【解析】
 14.【答案】4 【解析】
解：原式=故答案为：4 =4 2的值为零，即x-9=0，
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 15.【答案】-

【解析】
 的值为零．
解：∵+=3， ∴=3，
则a+b=3ab， 所以原式== ，
．
=3，即a+b=3ab，整体代入到原式，计算可得．

解：故答案是：-=-．
．
==-分子、分母同时约去4xy即可．
故答案为：-考查了约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
由+=3知第5页，共8页
3
本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则及整体代入思想的运用．
16.【答案】①②④
【解析】

17.【答案】解：（1）原式=- • • =- ；

（2）原式= ； （3）原式=1-

解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠ABP=∠CBD 又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF， ∴NP=EP， ∴AN=PF 在△ANP与△FPE中， ∵，
• =1- =- ；

=2x+4． （4）原式= •
【解析】

（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；

（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值； （3）原式先计算除法运算，再计算减法运算即可求出值；

（4）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18.【答案】解：（1）去分母得，2（x+1）-3（x-1）=x+3，
移项合并同类项得，x=1，
经检验：x=1是原方程的增根，原方程无解； （2）去分母得，2x=3-4x+4， 移项合并同类项得，x= ， 经检验：x= 是原方程的解． 【解析】


∴△ANP≌△FPE（SAS）， ∴AP=EF，（故①正确）；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM ∴∠PMF=∠ANP=90°∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度， ∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误． ∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
， ∴∠PDF=∠DPF=45°∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP=DF+PF=EC+EC=2EC， ∴④DP=EC 故正确的是：①②④． 故答案为：①②④
可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③④的正确性．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
222222
（1）先去分母，再移项合并同类项，最后检验即可； （2）先去分母，去括号，再移项合并同类项，最后检验即可．
此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解本题的关键，注意要检验．

19.【答案】解：原式= • = • = ，
当a=2时，原式=2． 【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最第6页，共8页

简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：根据题中的新定义得：|m，m-2|=解得：m=2，
分式方程为： 去分母得：x-1=2， 解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解． 【解析】



（2）由矩形的性质和勾股定理求出BC，得出AD=BC=DF，证出∠DAF=∠DFA，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形BFDE是矩形是解决问题的关键． 22.【答案】平行四边形 菱形
【解析】
=0，
解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD ∴四边形OCED是平行四边形， 故答案为：平行四边形；

（2）四边形OCED是菱形， 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD，

∴▱OCED是菱形， 故答案为：菱形．

（3）∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACFD是平行四边形，

，BC=4， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴AD=BC=AB=DC=4，∠DCF=60°∴△DCF是等边三角形， ∴CF=DF=CD=4，

5=20． ∴四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD=4×（1）利用两组对边平行的四边形是平行四边形；

（2）先判断出四边形OCED是平行四边形，再用矩形的性质即可得出结论； （3）先判断出三角形CDF是等边三角形，即可得出结论．

利用题中的新定义求出m的值，代入分式方程即可求出解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CF=AE， ∴BE=DF．
∴四边形BFDE为平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°．
∴四边形BFDE是矩形．
（2）证明：由（1）得，四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD=90°． ∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BC= = =10． ∴AD=BC=10． ∵DF=10， ∴AD=DF．
∴∠DAF=∠DFA． ∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠FAB． ∴∠DAF=∠FAB． ∴AF平分∠DAB．
即AF是∠DAB的平分线． 【解析】

（1）由平行四边形的性质和已知条件得出BE=DF，证明四边形BFDE为平行四边形，再由DE⊥AB，即可得出结论；

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此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出四边形OCED是平行四边形是解本题的关键． ∴∠AMD=∠CNB=90°，AD=BC，DM=CN， 在Rt△DAM和Rt△CBN中 ∵ ， 23.【答案】解：（1）证明：如图1，

∵
＜ ，
∴当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，
∴BP=12-3t，DQ=6-t，
当t=


时，DQ=6- = ，AP=3× =
， ∴AP=DQ，
又∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；

（2）能，当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
如图1，连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE， ∵CD∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4， 在△DEQ和△BEP中，


∵
，
∴△DEQ≌△BEP（AAS），
∴DQ=BP，
即四边形DPBQ为平行四边形， ∴6-t=12-3t，
解得t=3，符合题意，
∴当t=3秒时，PQ平分对角线BD．

（3）如图2，分别过点C、D作CN⊥AB，DM⊥AB，交AB于点M、N，

可得：四边形DMNC是矩形，
∴Rt△DAM≌Rt△CBN（HL）， ∴AM=
=3 ∵点P在DQ的垂直平分线EP上
∴PD=PQ，DE=
DQ，四边形DEPM是矩形 ∴DE=PM，即
=3t-3，
解得：t= ． 【解析】

（1）由题意可得当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四边形APQD是平行四边形； （2）首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，易证得△DEQ≌△BEP，继而可得四边形DPBQ为平行四边形，则可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．
（3）过点C、D作CN⊥AB，DM⊥AB，交AB于点M、N，得出Rt△DAM≌Rt△CBN，再利用垂直平分线的性质以及矩形性质得出DM=NP，从而求出t．
此题是四边形的综合问题，主要考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质和全等三角形的判定等知识，题目综合性较强，考查知识比较全面，证明线段相等经常运用证明三角形全等解决．

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2018-2019学年吉林省长春市南关区东北师大附中新城校区八年级(下)第一次月考数学试卷(解析版)

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