2018年烟台市初中学业水平考试

数学试题

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中并且只有一个是正确的

1．（2018山东烟台，1，3分）word/media/image1_1.png的倒数是（　　）

A．3 B．－3 C．word/media/image2_1.pngD．word/media/image1_1.png

【答案】B

【解析】求一个有理数的倒数，如果是分数，只需把这个数的分子和分母颠倒即可，所以word/media/image3_1.png的倒数是－3．

【知识点】有理数的倒数．

2．（2018山东烟台，2，3分）在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

word/media/image4.gif.

【答案】C

【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解

A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误

故选C．

【知识点】中心对称图形；轴对称图形．

3．（2018山东烟台，3，3分）2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿增加到82.7万亿，稳居世界第二．82.7万亿用科学记数法表示为（）

A．word/media/image9_1.pngB．word/media/image10_1.pngC．word/media/image11_1.pngD．word/media/image12_1.png

【答案】C

【解析】科学记数法的表示形式为word/media/image13_1.png的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．82.7万亿=word/media/image14_1.png．故选C．

【知识点】用科学记数法表示较大的数．

4．（2018山东烟台，4，3分）由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出的部分涂色，则涂色部分的面积为（）

A．9 B．11 C．14 D．18

word/media/image16.gif

【答案】B

【解析】本题可以从整体考虑求露出部分面积．

分别从正面、右面，上面可得该几何体的三视图为

word/media/image17.gif

其中主视图面积为4，右视图面积为3，俯视图面积为4，从而露出的部分涂色面积为：4+3+4=11．故选B．

【知识点】简单组合的几何体的三视图画法．

5．（2018山东烟台，5，3分）甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：

哪支仪仗队的身高更为整齐？

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】D

【解析】判断一组数据波动程度(或者离散程度)的大小要看方差，不能看平均数，方差越小，数据波动越小，越稳定；方差越大，数据波动越大，越不稳定．本题丁仪仗队队员的方差最小，为0.6，数据波动最小，即身高更为整齐．故选D．

【知识点】方差

6．（2018山东烟台，6，3分）下列说法正确的是（）

A．367人中至少有2人生日相同

B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是word/media/image18_1.png

C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨

D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖

【答案】A

【解析】因为平年365天，闰年366天，可以先考虑让366人生日各不相同，那么剩下的一人肯定要和这366人中某一个人的生日相同，故至少有两人生日相同，故A正确；任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6六种情况，点数为偶数的有2，4，6三种可能情况，故掷出的点数是偶数的概率是word/media/image19_1.png，故B错误；天气预报说明天的降水概率为90%，说明“明天下雨”是一个不确定事件，而“明天一定下雨”是“确定事件”中的“必然事件”，概率为1，故C错误；某种彩票中奖的概率是1%，说明“某种彩票中奖”是一个不确定事件，并不能说明买100张彩票一定会中奖，故D错误．故选A．

【知识点】概率的意义

7．（2018山东烟台，7，3分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为

的显示结果记为a，

的显示结果记为b．则a，b的大小关系为（）

A. aB．a>b C．a=b D．不能比较

【答案】B

【解析】本题考查鲁教版课本中（大雁牌）计算器的使用方法，word/media/image22_1.png，word/media/image23_1.png，∴a>b，故选B．

【知识点】锐角三角函数；负整数指数幂；计算器的使用；

8．（2018山东烟台，8，3分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）

A．28 B．29 C．30 D．31

【答案】C

【解析】第1幅图有4×1朵，第2幅图有4×2朵，第3幅图有4×3朵，... ，第n幅图有4×n朵，所以由4n=120得n=30.

【知识点】探索规律

9．（2018山东烟台，9，3分）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M=1，则CN的长为（）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【解析】（法一，排除法）连接AC，BD，∵菱形ABCD，AC=6，BD=8，∴CO=3，DO=4，CO⊥DO，∴CD=5，而CN，∴CN<5，故排除A，B，C，故选D．

（法二，正确推导）可证△BMO≌△DNO，∴DN=BM，∵折叠，∴B′M=BM=1=DN，由法一知，CD=5，∴CN=4．

【知识点】菱形的性质；折叠的性质；勾股定理，全等三角形的性质与判定.

10．（2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数是（　　）

A． 56° B．62° C．68° D．78°

【答案】Ｃ

【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+word/media/image28_1.png∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．

【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；

11．（2018山东烟台，11，3分）如图，二次函数word/media/image29_1.png的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）．下列结论：①word/media/image30_1.png②word/media/image31_1.png③当word/media/image32_1.png时，y<0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线word/media/image33_1.png．其中正确的是（）

A．①③B．②③C．②④D．③④

【答案】D

【解析】①∵A（－1，0），B（3，0），∴对称轴是直线word/media/image35_1.png，∴2a+b=0，又∵a≠0，b≠0，∴①错误，可以排除A选项；②∵x=－1时，y=a－b+c=0，∴a+c=b，∴(a+c)2=b2，∴②错误，可以排除B，C选项，∴只剩D选项，故选D．③当word/media/image36_1.png时，抛物线在x轴下方，y<0，∴③正确；④当a=1时，抛物线y=(x+1)(x－3)=x2－2x－3=(x－1)2－4，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得抛物线y=(x－1－1)2－4+2=(x－2)2－2，∴④正确；故选D．

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式的关系；

12．（2018山东烟台，12，3分）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），下列能大致反映S与t之间函数关系式的图象是（）

【答案】A

【解析】∵Q从A→B→C走过的路程为8+6=14cm，速度为2cm/s，∴Q从A→B→C用的时间为14÷2=7s；又P从A→D→C走完全程需要的时间为14÷1=14s，又∵当一个点到达C点时，另一个点也随之停止，∴当Q到达C时，P还在DC上，运动停止．

word/media/image42.gif

当0≤t≤4时，如图①，∵AP=t，AQ=2t，∴word/media/image46_1.png，∴可以排除C、D选项；当4＜t≤6时，如图②，作QH⊥AD，∵AP=t，HQ=8，∴word/media/image47_1.png，可以排除B、D选项；∴此时只能选A；当6＜t≤7时，如图③，∵DP=t－6，PC=14－t，CQ=14－2t，∴S=S梯形AQCD－S△ADP－S△PCQ=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png(14－2t+6)·8－93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×6(t－6)－93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png(14－t)(14－2t)=－t2+10t，各选项都符合．综上所述，只有A符合，选A．

【知识点】动点问题的函数图象；分段函数的表示，关键找分界点.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

13．（2018山东烟台，13，3分）word/media/image49_1.png__________．

【答案】word/media/image50_1.png

【解析】word/media/image51_1.png．

【知识点】0次幂；特殊角的三角函数值.

14．（2018山东烟台，14，3分）word/media/image52_1.png与最简二次根式word/media/image53_1.png是同类二次根式，则a=.

【答案】2

【解析】∵word/media/image54_1.png=word/media/image55_1.png与word/media/image56_1.png是同类二次根式，∴a+1=3，∴a=2．

【知识点】同类二次根式的定义；最简二次根式.

15.（2018山东烟台，15，3分）如图，反比例函数word/media/image57_1.png的图象经过ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，ABCD的面积为6，则k=.

【答案】－3

【解析】连接OP，∵C，D在坐标轴上，BD⊥DC，∴BD∥y轴，∴S△OPD=S△APD．∵ABCD对角线的交点P，ABCD的面积为6，∴S△APD=420ccdd5e3707127d91412a9b5cb7bcd.png=bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png．又∵S△OPD=S△APD=bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png=a4ddedf15dae5d69be43adfeb43654f6.png，∴b3142b2990f0d06e7431f1e424e10788.png=3．又∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＜0，∴k=－3．

过P点作PH⊥y轴于H，∵ABCD，∴BP=DP，AB//CD

∵BD⊥DC，∴∠PDO=∠DOH=∠OHP=90°

∴四边形PDOH是矩形.又AB//CD，

∴ebcdd0d714821ff8f742378d31034e69.png

∵BP=DP

∴1a2f0e53be2ee13dc85cf799b7184dfd.png，又k<0，∴k=－3．

【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；

16．（2018山东烟台，16，3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为.

【答案】（－1，－2）

【解析】如图，连接AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点．由图知，点G的坐标为（－1，－2）．

【知识点】垂径定理

17．（2018山东烟台，17，3分）已知关于x的一元二次方程x2－4x+m－1=0的实数根9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png，满足370ea9a01545ae7d976e44a034d4f0e5.png，则m的取值范围是.

【答案】3＜m≤5

【解析】∵9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png是x2－4x+m－1=0的两根，∴7dc2c1eb5dff89124037bd48fe5574c5.png，又∵370ea9a01545ae7d976e44a034d4f0e5.png，∴61cf0e9520d5418e1a1fb2c721660272.png，∴6d1d99188169bb53802a1569e6ca3928.png∴bdb9a5639fe65c9db7f617e085b778e3.png．又∵△=b2－4ac=(－4)2－4(m－1)≥0，∴m≤5，∴3＜m≤5．

【知识点】一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）；一元二次方程根的判别式.

18．（2018山东烟台，18，3分）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF的中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF．把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为4d554a7e92878e1fcb95a1aa3d1186a4.png；将扇形DEF以同样的方法围成圆锥的底面半径记为acb7bc85ecad9b0a5ba463144b229605.png，则2156fc63e55a21fd40e24751f3988717.png=.

【答案】6c0811f98bcdff4780536d119e2ede09.png

【解析】连接AO，OF，由题意，∠MON=∠DEF=120°，△AOF为等边三角形．设AF=2a=DE，∴AM=MF=a，∴OM=78b3cc689146e0e6835f112d2060c9f1.png．∵2πr1=20863ee04cc1b72556d4dd602e8972ef.png，2πr2=434514d82427d5e30f503ef5e17f6cd3.png，∴2156fc63e55a21fd40e24751f3988717.png=6c0811f98bcdff4780536d119e2ede09.png．

【知识点】正多边形的计算；圆锥的有关计算公式；弧长公式.

三、解答题（本大题共7小题，满分66分）

19．（2018山东烟台，19，6分）（本题满分6分）

先化简，再求值：dc985487a4747c06fa28f2132221f9ab.png，其中x满足056f441e39fee212913e66ef3aa47244.png．

【思路分析】原式括号中两项通分，并把通分后的分子利用提取公因式法分解因式，把除式的分子和分母颠倒，化除为乘，进行约分，再将6df4d52ab1c866df050d134ee95acbb1.png整体代入即可．

【解题过程】解：dc985487a4747c06fa28f2132221f9ab.png

9c53e9f3c0faf18ae559f2fdb448c49c.png

37d9d1d06695c637c3a6ff0f56442976.png

=x(x－2)=x2－2x．

∵x2－2x－5=0，

∴x2－2x=5，

∴原式=5．

【知识点】分式的化简求值；整体代入

20．（2018山东烟台，20，8分）（本题满分8分）

随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；

（2）将条形统计图补充完整，观察此图，支付方式的“众数”是“”；

（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

【思路分析】（1）∵使用“支付宝”、“现金”、“其他”支付的总人数是45+50+15=110人，使用“支付宝”、“现金”、“其他”支付所占的百分比为1－15%－30%=55%，∴这次活动共调查了110÷55%=200人；表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为：0867cdeed32b67011cf337acc6edd78e.png×360°=81°；（2）使用“微信”支付人数为：200×30%=60(人)；使用“银行卡”支付人数为：200×15%=30(人)，补全条形统计图即可，观察条形统计图和扇形统计图可知，使用微信的最多，即众数为“微信”；（3）先设使用“微信”支付为a，使用“支付宝”支付为b，使用“银行卡”支付为c，根据题意画出树状图或列表，再根据概率公式列式计算即可．

【解题过程】（1）200；81°；

（2）微信；

补全条形统计图如图所示：

（3）方法1：设使用“微信”支付为a，使用“支付宝”支付为b，使用“银行卡”支付为c，画树状图如下：

word/media/image97.gif

共有9种情况，符合条件的有3种，即（a，a），（b，b），（c，c），

∴P(两人恰好选择同一种支付方式)=69f047c3284f15e5b31eae97bc174d75.png．

方法2：设使用“微信”支付为a，使用“支付宝”支付为b，使用“银行卡”支付为c，列表如下：

共有9种情况，符合条件的有3种，即（a，a），（b，b），（c，c），

∴P(两人恰好选择同一种支付方式)=69f047c3284f15e5b31eae97bc174d75.png．

【知识点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；众数．

21．（2018山东烟台，21，8分）（本题满分8分）

汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C，测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，sin35°≈0.57，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）

【思路分析】要判断汽车是否超速，只需要求出AB的长度，用AB的长度除以汽车从点A到点B的时间6秒，就可以求出汽车从点A到点B的速度，把速度换算成千米/小时，和40千米/小时比较，如果大于40千米/小时就超速，否则就不超速．

【解题过程】∵∠APC=71°，PC⊥l，PC=30米，

∴d4676846e4a3ed4cd6488dbc4985be77.png，∴AC≈2.90×30=87(米)．

∵∠BPC=35°，PC⊥l，PC=30米，

∴a390a7a1ef5203d10a7613c754532a34.png，∴BC≈0.70×30=21(米)．

∴AB=AC－BC=87－21=66(米)，

∴汽车从点A到点B的速度是v=c9112e303602682ea4a129ec2fdc3e8d.png米/秒=11×3.6=39.6千米/小时＜40千米/小时，

∴该车没有超速．

【知识点】解直角三角形的应用

22．（2018山东烟台，22，9分）

为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．

（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A、B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车和B型车各多少辆？

（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A、B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车和B型车各多少辆？

【思路分析】（1）这一问是考察一元一次方程或二元一次方程组的知识，可设A型车x辆，则B型车（100－x）辆，根据A型，B型车的单价，由等量关系“x辆A型车价值+（100－x）辆B型车价值=36800元”可列方程解决第一问；根据题目中“按照试点投放中A、B两车型的数量比进行投放”和第一问得到的结果，可设A型车数量为3m辆，B型车数量为2m辆，再根据“投资总价值不低于184万元”这个条件，可求出A型车和B型车的数量，分别为3000辆和2000辆从而可求出“10万人口平均每100人享有A型车和B型车各多少量”.

【解题过程】解：（1）设A型车x辆，则B型车（100－x）辆，由题意得：

400x+320（100－x）=36800，

∴x=60，∴100－x=40．

答：本次试点投放的A型车60辆，B型车40辆．

（2）投放A型车和B型车的数量比为60：40=3：2，

∴设投放的A型车和B型车各3m辆、2m辆，由题意得：

400×3m+320×2m=1840000，∴m=1000．

∴A型车：3m=3000辆，B型车：2m=2000辆，

∴10万人口平均每100人享有A型车3000÷（100000÷100）=3辆；

B型车2000÷（100000÷100）=2辆．

答：城区10万人口平均每100人至少享有A型车3辆，B型车2辆．

【知识点】一元一次方程的应用(二元一次方程组的应用)；

23．（2018山东烟台，23，9分）（本题满分9分）

如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上，F为346a812fda1542f8d9883da75294ca84.png上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．

（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；

（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；

（3）在（2）的条件下，若AD=91a24814efa2661939c57367281c819c.png，求9bb0bc3a6da0aa4b60832b025da909d8.png的值．

【思路分析】（1）连接CD、ED，利用两次“等腰三角形的底角相等”，以及“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解；（2）根据切线的性质，DE⊥EF，则∠2+∠5=90°，而∠2=2α，∠5=α，∴∠ADC=3α=90°得到α值代入（1）结论即可求解；（3）由（2）可推出，∠ABF=45°=∠CAD，∴AN∥BF，∴9bb0bc3a6da0aa4b60832b025da909d8.png=0373d4ec4ceeed2aa06ca2da68774ae5.png，然后由AD=91a24814efa2661939c57367281c819c.png求出AM和BM的值代入即可．

【解题过程】（1）连接CD、ED，∴∠1=∠EBD=α，∴∠2=∠1+∠B=2α．

∵DC=DE，∴∠2=∠3=2α，∴∠CDA=∠3+∠EBD=3α．

∵DC=DA，∴∠CAD=6ed2840a2007d45bea23fb38614ad458.png．

（2）∵EM=BM，∴∠4=∠EBD=α．

∵∠4=∠5，∴∠5=α，若EF为⊙D的切线，则∠2+∠5=90°．

由（1）知，∠2=2α，∴α+2α=90°，

∴α=30°，∴∠CAD=2697dc6744fbce82700fda5c7878bfb3.png．

（3）在（2）条件下，∠DEF=90°，∴∠DBF=45°=∠CAD，

∴AN∥BF，∴9bb0bc3a6da0aa4b60832b025da909d8.png=0373d4ec4ceeed2aa06ca2da68774ae5.png．

由（2）知，∠ADC=3α=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD=91a24814efa2661939c57367281c819c.png．

∵∠EBD=α=30°，∠BDC=90°，∴BD=91a24814efa2661939c57367281c819c.pngCD=3．

∵∠1=30°，∠DEF=90°，∴DM=2EM=2MB，

∴b14826b80499cb8ea2f46f7612ef7e1a.png，DM=2，∴AM=2+91a24814efa2661939c57367281c819c.png，∴d93a12fa3187e8e2f966821ad8a29fd8.png．

【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；圆周角定理的推论；含30°角的直角三角形的性质；平行线分线段成比例定理；

24．（2018山东烟台，24，11分）（本题满分11分）

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了一个这样问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？

小明他通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=49d66b49a2741e5b36e82bc1a9d6a14b.png，求∠APB的度数．

【思路分析】（1）如图（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△BP′A，连接PP′，得到等腰直角三角形△BP′P，从而得到PP′=2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，∠BPP′=45°，又AP′=CP=3，AP=1，∴504eb6b4ace699f1067c94c79b808a8f.png∴根据勾股定理逆定理得∠APP′=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°；（2）如图（2）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，方法和（1）类似，求出∠APB=45°．

【解题过程】解：（1）如图（1）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∵PB=P′B=2，∠P′BP=90°，

∴PP′=2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，∠BPP′=45°．

又AP′=CP=3，AP=1，

∴504eb6b4ace699f1067c94c79b808a8f.png，

∴∠APP′=90°，∴∠APB=45°+90°=135°．

（2）如图（2）将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∵PB=P′B=1，∠P′BP=90°，

∴PP′=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，∠BPP′=45°．

又AP′=CP=49d66b49a2741e5b36e82bc1a9d6a14b.png，AP=3，

∴95d7c84390d55df83ef9a00e6196d1cc.png，

∴∠APP′=90°，∴∠APB=90°－45°=45°．

【知识点】正方形的性质；勾股定理及其逆定理；旋转的性质；分类讨论思想；

25．（2018山东烟台，25，14分）（本题满分14分）

如图1，抛物线82223c8361373459614586fbea9dff11.png与x轴相交A(－4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线635c494e1df7154b6636df90fba6c937.png分别与y轴及抛物线交于点C，D．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；

（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点．在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？

若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路分析】（1）∵抛物线82223c8361373459614586fbea9dff11.png和x轴交点A（－4，0），B（1，0），∴设b84f78a93104d790f3a18c07cde3880b.png，展开后让一次项系数等于2，可求出a，从而求出抛物线的表达式；

（2）此题分类讨论，先以BD为直径画圆和x轴交于两点；再分别过D和C两点作CD的垂线，分别与x轴交于两点，都是符合条件的点，共有四个点.每一种情况都可以通过三角函数（或相似）解决；

(3)此题D是定点，M、N是动点，这与我们以前遇到的求一动点到两定点的距离之和最小不同，但也有共同之处，就是都需要过定点作对称轴的对称点.此题也不例外，就是作D关于对称轴的对称点D’，再根据垂线段最短，过D’作直线EF的垂线，垂足为N，垂线D’N与直线EF交于点M，此时M、N即为所求点，再利用D′N⊥EF，得到：019a038fc17a9e616a47248009493773.png从而求出直线D′N的表达式，与直线EF的表达式联立求出N的坐标；又M的横坐标可通过对称轴7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png确定，将M的的横坐标7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png代入直线D′N的表达式，可求出M的坐标.DM+MN的最小值即为D′N的长度，可以通过D’和N的坐标，利用两点间距离公式得到．

【解题过程】（1）方法1：∵A（－4，0），B（1，0），

∴设b84f78a93104d790f3a18c07cde3880b.png，

∴5b52c20a7acc915fcc4b8eeb8e2ae42e.png，

∴3a=2，∴feb3e2bab0f3d24871bf43fa97927b2f.png，

∴0021eb434c773174f06d91afed3f84e0.png．

把B（1，0）代入635c494e1df7154b6636df90fba6c937.png，可得44473ecd9d337e3c1a2bf04c7791f170.png，

∴538a9667c7ec0e1f40f2257ba3176af9.png．

方法2：把A（－4，0），B（1，0）代入82223c8361373459614586fbea9dff11.png，得

0928bbfc844e2a7e5fc10e7ac93ab71d.png解得c42bc2ef2dce02a598352922780e87a3.png

∴0021eb434c773174f06d91afed3f84e0.png．

把B（1，0）代入635c494e1df7154b6636df90fba6c937.png，可得44473ecd9d337e3c1a2bf04c7791f170.png，

∴538a9667c7ec0e1f40f2257ba3176af9.png．

（2）∵538a9667c7ec0e1f40f2257ba3176af9.png，∴C（0，6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png），∴OC=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png．

由10a90cb90b6dfc2d92881e2c0d1c3310.png得2479769f2328045e3825c4a4a6b0657a.png18d9baeeb4b5f20d9170f1252f42e389.png，

∴f3f7a76ffb095494f4cce10e7ae06ee7.png，

解得bcc582a3bca7c13e72a07ee135603909.png当x=－5时，fd53064972c36a9dafdc90227e1df46e.png，∴D（－5，4）．

Ⅰ)若∠DPC=90°，如图（1），作DH⊥x轴于H，∴∠1+∠2=90°=∠3+∠2，∴∠1=∠3，

∴tan∠1=tan∠3，∵P（－t，0），∴PH=5－t，OP=t，∴c3339a3957f2affc66a2bbc384914230.png，∴e1964c29ac5dfe1edee70a780e525773.png，

∴f0760dd3d3055f3fba3b92332c7116a6.png．

Ⅱ)过D作DP1⊥CD，如图（2），过D作MN∥x轴，过P作P1M⊥MN，可证∠1=∠2，∴tan∠1=tan∠2，

∴ce35dc2ec8d21e1bbd3b8048d5c7a5e6.png，∴170c1334e5ba7d5f384c9a8086348b28.png

Ⅲ)过C作CP2⊥CD，如图（2），可证∠1=∠3，∴tan∠1=tan∠3，

∴9f3fc750d99e9bac1f9f50febbedc188.png，∴229681c983636fe8b378533bbdd80d78.png

edb9bb633387d6ee473245cf1c0a5b32.png

（3）直线：538a9667c7ec0e1f40f2257ba3176af9.png向下平移4个单位后得到直线EF：6cb45e72d46da49080c873c5b96b1932.png

∵对称轴是直线7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png，作D（－5，4）关于直线7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png的对称点D′，

∵837da32ee903e9cf78fa06d4b975d06c.png

过D′作D′N⊥EF于N，交对称轴7b868ba155a622b5fe2176e7d5051991.png于M，如图（3），此时DM+MN最小．

∵D′N⊥EF，∴019a038fc17a9e616a47248009493773.png

e4d740e94351a415da11b31a7f7b0e95.pngword/media/image165_1.png

b280520070fd600150036f5c1d7649b2.png．

6904886f18fe2003e4b19f0e976f8eb3.png，

解得x=－2，

代入6cb45e72d46da49080c873c5b96b1932.png得

y=－fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png－bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.png=－2．

∴N(－2，－2)．

又D′(2，4)，

ee09aab8267e38156dc24d0cda6adf3b.png，

db055cafb16c9601e8f4edc54c46c3e6.png

24c60ea776294f41919327ea8eb20980.png

【知识点】二次函数的综合题；分类讨论思想；