湖南省永州市2018年中考数学试题(含解析)-

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2018年湖南省永州市中考数学试卷


一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分
1．（4分）﹣2018的相反数是（ ） A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣
2．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）函数y=中自变量的取值范围是（ ）
A．≥3 B．＜3 C．≠3 D．=3
4．（4分）如图几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ） A．m2+2m3=3m5
B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3
6．（4分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53 7．（4分）下列命题是真命题的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．任意多边形的内角和为360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
8．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=a2+b（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ） A．商贩A的单价大于商贩B的单价 B．商贩A的单价等于商贩B的单价 C．商版A的单价小于商贩B的单价 D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表示为 ． 12．（4分）因式分解：2﹣1= ．
13．（4分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC= ．


14．（4分）化简：（1+）÷= ．
15．（4分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为 ．

17．（4分）对于任意大于0的实数、y，满足：log2（•y）=log2+log2y，若log22=1，则log216= ．
18．（4分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2m，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5m，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种．

三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19．（8分）计算：2﹣1﹣20．（8分）解不等式组sin60°+|1﹣|．
，并把解集在数轴上表示出．
21．（8分）永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”
投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．

（1）参观的学生总人数为 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为 ．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F． （1）求证：四边形BCFD为平行四边形； （2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

23．（10分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人
数．24．（10分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F． （1）求证：CF=BF；
=
，CD⊥AB，（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．

25．（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）． （1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．


26．（12分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．

（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长．



2018年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，每小题4分，共40分
1．（4分）﹣2018的相反数是（ ） A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：﹣2018的相反数是2018． 故选：A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

2．（4分）誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．（4分）函数y=中自变量的取值范围是（ ）

A．≥3 B．＜3 C．≠3 D．=3
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出的范围． 【解答】解：根据题意得：﹣3≠0， 解得：≠3． 故选：C．
【点评】考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

4．（4分）如图几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图． 【解答】解：由图可得，几何体的主视图是：

故选：B．
【点评】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

5．（4分）下列运算正确的是（ ） A．m2+2m3=3m5
B．m2•m3=m6 C．（﹣m）3=﹣m3 D．（mn）3=mn3
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计
算可得．
【解答】解：A、m2与2m3不是同类项，不能合并，此选项错误； B、m2•m3=m5，此选项错误； C、（﹣m）3=﹣m3，此选项正确； D、（mn）3=m3n3，此选项错误； 故选：C．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．

6．（4分）已知一组数据45，51，54，52，45，44，则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．45，48 B．44，45 C．45，51 D．52，53
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解． 【解答】解：数据从小到大排列为：44，45，45，51，52，54， 所以这组数据的众数为45，中位数为（45+51）=48． 故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．

7．（4分）下列命题是真命题的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．任意多边形的内角和为360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断． 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题； C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；

D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题． 故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

8．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
=，即AC2=AD•AB，由此即可解决【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得问题；
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴=，
∴AC2=AD•AB=2×8=16， ∵AC＞0， ∴AC=4， 故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

9．（4分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=（b≠0）与二次函数y=a2+b（a≠0）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：A、抛物线y=a2+b开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y=a2+b开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误； C、抛物线y=a2+b开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D、抛物线y=a2+b开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．

10．（4分）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ） A．商贩A的单价大于商贩B的单价 B．商贩A的单价等于商贩B的单价 C．商版A的单价小于商贩B的单价 D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起，读懂题列出不等式关系式即可求解．

【解答】解：利润=总售价﹣总成本=明利润＜0
∴0.5b﹣0.5a＜0， ∴a＞b． 故选：A．
×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）截止2017年年底，我国60岁以上老龄人口达2.4亿，占总人口比重达17.3%．将2.4亿用科学记数法表示为 2.4×108 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2.4亿=2.4×108． 故答案为：2.4×108
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（4分）因式分解：2﹣1= （+1）（﹣1） ． 【分析】方程利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（+1）（﹣1）． 故答案为：（+1）（﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

13．（4分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC= 75° ．


【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可； 【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°， ∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°， ∴∠BDC=∠ADE=75°， 故答案为75°．
【点评】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

14．（4分）化简：（1+）÷=
．
【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1+===，
．


）÷
故答案为：【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．

15．（4分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳
定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 100 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：由题意可得，=0.03， 解得，n=100． 故估计n大约是100． 故答案为：100．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为
．

【分析】由点A（1，1），可得OA==，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB=45°，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵点A（1，1）， ∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置， ∴∠AOB=45°，
∴的长为．
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径以及∠AOB=45°是解题的=．
故答案为【点评】本题考查了弧长公式：l=为R），也考查了坐标与图形变化﹣旋转，求出OA=关键．



17．（4分）对于任意大于0的实数、y，满足：log2（•y）=log2+log2y，若log22=1，则log216= 4 ．
【分析】利用log2（•y）=log2+log2y得到log216=log22+log22+log22+log22，然后根据log22=1进行计算．
【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4． 故答案为4．
【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．

18．（4分）现有A、B两个大型储油罐，它们相距2m，计划修建一条笔直的输油管道，使得A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5m，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种．
【分析】根据点A、B的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可； 【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种，如图所示；

故答案为4．
【点评】本题考查整体﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19．（8分）计算：2﹣1﹣sin60°+|1﹣|．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【解答】解：原式=﹣×+2=1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出．
【分析】分别解不等式组的两个不等式，即可得到其公共部分，依据解集即可在数轴上表示出． 【解答】解：解不等式①，可得 ＜3，
解不等式②，可得 ＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜＜3， 在数轴上表示出为：
，

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．

21．（8分）永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．


（1）参观的学生总人数为 40 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 15% ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为
．
【分析】（1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；
（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比； （3）依据“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，即可补全条形统计图； （4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率．
【解答】解：（1）参观的学生总人数为12÷30%=40（人）； （2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为×100%=15%；
（3）“德文化”的学生数为40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：

（4）设最喜欢“德文化”的4个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，甲同学被选中的有6种情况， ∴甲同学被选中的概率是：故答案为：40；15%；．
=．

【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F． （1）求证：四边形BCFD为平行四边形； （2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．
（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°， ∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点， ∴CE=AB，BE=AB． ∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠BCE=∠EBC=60°． 又∵△AEF≌△BEC， ∴∠AFE=∠BCE=60°． 又∵∠D=60°， ∴∠AFE=∠D=60°． ∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°， ∴AD∥BC，即FD∥BC． ∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6， ∴BC=AB=3，AC=∴S平行四边形BCFD=3×BC=3=9， ．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

23．（10分）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人
数．
【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答． 【解答】解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为人，女生人数为y人， 依题意得：解得，
，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人． 【点评】考查了二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

24．（10分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F． （1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
=，CD⊥AB，
【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；
=，则可证明=，（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=，OH=，接着证明△OHB∽△OCM得到∠
OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图， ∵CD⊥AB， ∴∵∴===， ， ，
∴∠CBE=∠GCB， ∴CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图， ∵=，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH=∴BH=×6=∴OH=，
=，
=，
∵∴===，，
==，
而∠HOB=∠COM， ∴△OHB∽△OCM， ∴∠OCM=∠OHB=90°， ∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．


【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．

25．（12分）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）． （1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（﹣1）2+4， 把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4， a=﹣1，

∴抛物线的表达式为：y=﹣（﹣1）2+4=﹣2+2+3； （2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小， ∵E（0，3）， ∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y=3﹣3， 当=1时，y=3×1﹣3=0， ∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0）， 易得AB的解析式为：y=﹣2+6，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3）， ∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3， ∵AD∥NH， ∴∠DAB=∠NQM， ∵∠ADB=∠QMN=90°， ∴△QMN∽△ADB， ∴∴∴MN=﹣∵﹣，
，
（m﹣2）2+，
＜0，
∴当m=2时，MN有最大值； 过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°， ∴△NGP∽△ADB， ∴==，
∴PG=NG=m，

∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3， ∴S△PON=OP•GN=（﹣m2+m+3）•m， 当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．


【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题（3）的关键．

26．（12分）如图1，在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI=4，HI=3，AD=．矩形DFGI恰好为正方形．


（1）求正方形DFGI的边长；
（2）如图2，延长AB至P．使得AC=CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M，N，求△MNG′的周长． 【分析】（1）由HI∥AD，得到=，求出AD即可解决问题；
（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；
（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1中，

∵HI∥AD， ∴=， ，
∴=∴AD=6， ∴ID=CD﹣CI=2， ∴正方形的边长为2．

（2）如图2中，设等G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．


∵CA=CP，CD⊥PA，
∴∠ACD=∠PCD，∠A=∠P， ∵HG′∥PA，
∴∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P， ∴∠CHG′=∠CG′H， ∴CH=CG′， ∴IH=IG′=DF′=3， ∵IG∥DB， ∴∴=，
=，
∴DB=3， ∴DB=DF′=3， ∴点B与点F′重合，
∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′， ∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形．

（3）如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．

∵∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°，

∵DN=DN，DM=DR， ∴△NDM≌△NDR， ∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′，
∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．


湖南省永州市2018年中考数学试题(含解析)-

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