2017年广东省广州市高考数学一模试卷及参考答案(理科)
发布时间:2019-04-14 19:01:22
发布时间:2019-04-14 19:01:22
2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数(1+i)2+的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
2.(5分)若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅
3.(5分)已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,成等差数列,则的值是( )
A. B. C. D.
4.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=5,则输出k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(5分)已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=7,则|PF2|等于( )
A.1 B.13 C.4或10 D.1或13
6.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
7.(5分)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
8.(5分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(0,) D.(0,)
9.(5分)已知p:∃x>0,ex﹣ax<1成立,q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.(5分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.8π B.12π C.20π D.24π
11.(5分)若直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),且|x1﹣x2|=,则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( )
A. B. C. D.
12.(5分)已知函数f(x)=x3﹣,则的值为( )
A.0 B.504 C.1008 D.2016
二、填空题:本小题共4题,每小题5分.
13.(5分)已知||=1,||=,且⊥(﹣),则向量与向量的夹角是 .
14.(5分)(3﹣x)n的展开式中各项系数和为64,则x3的系数为 (用数字填写答案)
15.(5分)已知函数f(x)=,若|f(a)|≥2,则实数a的取值范围是 .
16.(5分)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,则f(n)=(n∈N*)的最小值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.
(Ⅰ)求∠ACP;
(Ⅱ)若△APB的面积是,求sin∠BAP.
18.(12分)近年来,我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满
意的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望EX.
附:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)
19.(12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1,二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.
20.(12分)过点P(a,﹣2)作抛物线C:x2=4y的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ) 证明:x1x2+y1y2为定值;
(Ⅱ) 记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.
21.(12分)已知函数f(x)=lnx+.
(Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2cos(θ﹣).
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.
2017年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数(1+i)2+的共轭复数是( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【解答】解:(1+i)2+=2i+=2i+1﹣i=1+i的共轭复数是1﹣i.
故选:B.
2.(5分)若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则( )
A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅
【解答】解:由题意,N={y|y=x2,|x|≤1}={y|0≤y≤1},
∴N⊆M,
故选:C.
3.(5分)已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,成等差数列,则的值是( )
A. B. C. D.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,且q>0,
∵a3,成等差数列,
∴,则,
化简得,q2﹣q﹣1=0,解得q=,
则q=,
∴====,
故选:A.
4.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=5,则输出k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:第一次执行循环体,n=16,不满足退出循环的条件,k=1;
第二次执行循环体,n=49,不满足退出循环的条件,k=2;
第三次执行循环体,n=148,不满足退出循环的条件,k=3;
第四次执行循环体,n=445,满足退出循环的条件,
故输出k值为3,
故选:B.
5.(5分)已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左,右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=7,则|PF2|等于( )
A.1 B.13 C.4或10 D.1或13
【解答】解:由双曲线的方程、渐近线的方程可得=,∴a=3.
∵c2=a2+b2=9+4=13,
∴c=,
∴c﹣a=﹣3<1
由双曲线的定义可得||PF2|﹣7|=6,∴|PF2|=1或13,
故选:D.
6.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
A. B. C. D.
【解答】解:该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD,如图所示,
该几何体的俯视图为D.
故选:D.
7.(5分)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:五个人的编号为1,2,3,4,5.
由题意,所有事件,共有25=32种,没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1),(2),(3),(4),(5),(1,3),(1,4),(2,4),(2,5),(3,5),再加上没有人站起来的可能有1种,共11种情况,
∴没有相邻的两个人站起来的概率为,
故选:C.
8.(5分)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.(,1) B.(,1) C.(0,) D.(0,)
【解答】解:设P(x0,y0),则|x0|<a,
又F1(﹣c,0),F2(c,0),
又∠F1PF2为钝角,当且仅当•<0有解,
即(﹣c﹣x0,﹣y0)•(c﹣x0,﹣y0)=(﹣c﹣x0)(c﹣x0)+y02<0,
即有c2>x02+y02有解,即c2>(x02+y02)min.
又y02=b2﹣x02,
∴x02+y02=b2+x02∈[b2,a2),
即(x02+y02)min=b2.
故c2>b2,c2>a2﹣c2,
∴>,即e>,
又0<e<1,
∴<e<1.
故选:A.
9.(5分)已知p:∃x>0,ex﹣ax<1成立,q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:p:令f(x)=ex﹣ax﹣1,f(0)=0.由∃x>0,ex﹣ax<1成立,∴f(x)min<0.
f′(x)=ex﹣a.可知:a≤0时,函数f(x)单调递增,舍去.
a>0时,f(x)在(0,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
因此x=lna时,函数f(x)取得极小值即最小值.∴f(lna)=a﹣alna﹣1<0.
令g(a)=a﹣alna﹣1,g(1)=0.
g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna,可知:a=1时,g(a)取得最大值,
因此a>0且a≠1.
q:函数f(x)=﹣(a﹣1)x是减函数,则a﹣1>1,解得a>2.
则p是q的必要不充分条件.
故选:B.
10.(5分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P﹣ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.8π B.12π C.20π D.24π
【解答】解:由题意,PC为球O的直径,PC==2,
∴球O的半径为,
∴球O的表面积为4π•5=20π,
故选:C.
11.(5分)若直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),且|x1﹣x2|=,则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( )
A. B. C. D.
【解答】解:函数f(x)=2sin2x,
周期T=π,
令2sin2x=1,解得:x=或,
直线y=1与函数f(x)=2sin2x的图象相交于点从左向右依次是,,…,
∵|x1﹣x2|=
令x1=,x2=,
可得:线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积
S=﹣2﹣2=.
故选:A.
12.(5分)已知函数f(x)=x3﹣,则的值为( )
A.0 B.504 C.1008 D.2016
【解答】解:f(x)=x3﹣=x3﹣x2+x﹣+=(x﹣)3+.
∵+=0,k=1,2,…2016.
∴(﹣)3+()3=0,k=1,2,…2016.
∴==504.
故选:B.
二、填空题:本小题共4题,每小题5分.
13.(5分)已知||=1,||=,且⊥(﹣),则向量与向量的夹角是 .
【解答】解:设向量与向量的夹角是θ,则由题意可得•(﹣)=﹣=1﹣1××cosθ=0,
求得cosθ=,可得θ=,
故答案为:.
14.(5分)(3﹣x)n的展开式中各项系数和为64,则x3的系数为 ﹣540 (用数字填写答案)
【解答】解:令x=1,则2n=64,解得n=6.
(3﹣x)6的通项公式为:Tr+1==(﹣1)r•36﹣r•xr,
令r=3,则x3的系数为﹣=﹣540.
故答案为:﹣540.
15.(5分)已知函数f(x)=,若|f(a)|≥2,则实数a的取值范围是 .
【解答】解:由题意知,f(x)=,
①当a≤0时,不等式|f(a)|≥2为|21﹣a|≥2,
则21﹣a≥2,即1﹣a≥1,解得a≤0;
②当a>0时,不等式|f(a)|≥2为,
则或,
即或,解得0<a或a≥8;
综上可得,实数a的取值范围是,
故答案为:.
16.(5分)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,则f(n)=(n∈N*)的最小值为 .
【解答】解:∵对任意p、q∈N*,都有ap+q=ap+aq,令p=n,q=1,可得an+1=an+a1,则﹣an=2,
∴数列{an}是等差数列,公差为2.
∴Sn=2n+=n+n2.
则f(n)===n+1+﹣1,
令g(x)=x+(x≥1),则g′(x)=1﹣=,可得x∈[1,时,函数g(x)单调递减;x∈时,函数g(x)单调递增.
又f(7)=14+,f(8)=14+.
∴f(7)<f(8).
∴f(n)=(n∈N*)的最小值为.
故答案为:.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4.
(Ⅰ)求∠ACP;
(Ⅱ)若△APB的面积是,求sin∠BAP.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ) 在△APC中,因为∠PAC=60°,PC=2,AP+AC=4,
由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC,…(1分)
所以22=AP2+(4﹣AP)2﹣2•AP•(4﹣AP)•cos60°,
整理得AP2﹣4AP+4=0,…(2分)
解得AP=2.…(3分)
所以AC=2.…(4分)
所以△APC是等边三角形.…(5分)
所以∠ACP=60°.…(6分)
(Ⅱ) 法1:由于∠APB是△APC的外角,所以∠APB=120°.…(7分)
因为△APB的面积是,所以.…(8分)
所以PB=3.…(9分)
在△APB中,AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19,
所以.…(10分)
在△APB中,由正弦定理得,…(11分)
所以sin∠BAP==.…(12分)
法2:作AD⊥BC,垂足为D,
因为△APC是边长为2的等边三角形,
所以.…(7分)
因为△APB的面积是,所以.…(8分)
所以PB=3.…(9分)
所以BD=4.
在Rt△ADB中,,…(10分)
所以,.
所以sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…(11分)
==.…(12分)
18.(12分)近年来,我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?
(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满
意的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望EX.
附:K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)
【解答】解:(Ⅰ) 2×2列联表:
…(2分),…(3分)
因为11.111>6.635,
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”.…(4分)
(Ⅱ) 每次购物时,对商品和服务都满意的概率为,且X的取值可以是0,1,2,3.
…(6分);;.…(10分)
X的分布列为:
…(11分)
所以.…(12分)
19.(12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1,二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ) 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.…(1分)
因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB.…(2分)
又因为折叠前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,…(3分)
所以AB⊥平面ADC.…(4分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD.…(5分)
又DC⊥平面ABD,AD⊂平面ABD,所以DC⊥AD.
依题意.…(6分)
因为AD=1,所以.
设AB=x(x>0),则.
依题意△ABD~△BDC,所以,即.…(7分)
解得,故.…(8分)
如图所示,建立空间直角坐标系D﹣xyz,则D(0,0,0),,,,,
所以,.
由(Ⅰ)知平面BAD的法向量.…(9分)
设平面ADE的法向量
由得
令,得,
所以.…(10分)
所以.…(11分)
由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角,
所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为.…(12分)
20.(12分)过点P(a,﹣2)作抛物线C:x2=4y的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ) 证明:x1x2+y1y2为定值;
(Ⅱ) 记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.
【解答】解:(Ⅰ)证明:法1:由x2=4y,得,所以.所以直线PA的斜率为.
因为点A(x1,y1)和B(x2,y2)在抛物线C上,所以,.
所以直线PA的方程为.…(1分)
因为点P(a,﹣2)在直线PA上,
所以,即.…(2分)
同理,.…(3分)
所以x1,x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根.
所以x1x2=﹣8.…(4分)
又,…(5分)
所以x1x2+y1y2=﹣4为定值.…(6分)
法2:设过点P(a,﹣2)且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k(x﹣a),…(1分)
,消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0,
由△=16k2﹣4(4ak+8)=0,化简得k2﹣ak﹣2=0.…(2分)
所以k1k2=﹣2.…(3分)
由x2=4y,得,所以.
所以直线PA的斜率为,直线PB的斜率为.
所以,即x1x2=﹣8.…(4分)
又,…(5分)
所以x1x2+y1y2=﹣4为定值.…(6分)
(Ⅱ) 法1:直线PA的垂直平分线方程为,…(7分)
由于,,
所以直线PA的垂直平分线方程为.①…(8分)
同理直线PB的垂直平分线方程为.②…(9分)
由①②解得,,
所以点.…(10分)
抛物线C的焦点为F(0,1),则.
由于,…(11分)
所以.
所以以PM为直径的圆恒过点F.…(12分)
另法:以PM为直径的圆的方程为.…(11分)
把点F(0,1)代入上方程,知点F的坐标是方程的解.
所以以PM为直径的圆恒过点F.…(12分)
法2:设点M的坐标为(m,n),
则△PAB的外接圆方程为(x﹣m)2+(y﹣n)2=(m﹣a)2+(n+2)2,
由于点A(x1,y1),B(x2,y2)在该圆上,
则,.
两式相减得(x1﹣x2)(x1+x2﹣2m)+(y1﹣y2)(y1+y2﹣2n)=0,①…(7分)
由(Ⅰ)知,代入上式得,…(8分)
当x1≠x2时,得8a﹣4m+a3﹣2an=0,②
假设以PM为直径的圆恒过点F,则,即(﹣m,n﹣1)•(﹣a,﹣3)=0,
得ma﹣3(n﹣1)=0,③…(9分)
由②③解得,…(10分)
所以点.…(11分)
当x1=x2时,则a=0,点M(0,1).
所以以PM为直径的圆恒过点F.…(12分)
21.(12分)已知函数f(x)=lnx+.
(Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.
【解答】解:(Ⅰ)法1:函数的定义域为(0,+∞).
由,得.…(1分)
因为a>0,则x∈(0,a)时,f'(x)<0;x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.
所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.…(2分)
当x=a时,[f(x)]min=lna+1.…(3分)
当lna+1≤0,即0<a≤时,又f(1)=ln1+a=a>0,则函数f(x)有零点.…(4分)
所以实数a的取值范围为.…(5分)
法2:函数的定义域为(0,+∞).
由,得a=﹣xlnx.…(1分)
令g(x)=﹣xlnx,则g'(x)=﹣(lnx+1).
当时,g'(x)>0; 当时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减.…(2分)
故时,函数g(x)取得最大值.…(3分)
因而函数有零点,则.…(4分)
所以实数a的取值范围为.…(5分)
(Ⅱ)证明:令h(x)=xlnx+a,则h'(x)=lnx+1.
当时,h'(x)<0;当时,h'(x)>0.
所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.
当时,.…(6分)
于是,当a≥时,.①…(7分)
令φ(x)=xe﹣x,则φ'(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x).
当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.
所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当x=1时,.…(8分)
于是,当x>0时,.②…(9分)
显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当x>0,时,xlnx+a>xe﹣x.…(10分)
因为b>1,所以lnb>0.
所以lnb•ln(lnb)+a>lnb•e﹣lnb.…(11分)
所以,即.…(12分)
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=2cos(θ﹣).
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.
【解答】解:(Ⅰ) 由直线l的参数方程消去t参数,得x+y﹣4=0,
∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0.
由=.
得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,
得:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为,
则点P到直线l的距离为==
当时,
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为;
法2:设与直线l平行的直线为l':x+y+b=0.
当直线l'与圆C相切时,得,解得b=0或b=﹣4(舍去).
∴直线l'的方程为x+y=0.
那么:直线l与直线l'的距离为
故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 若a≥1,x∈R,求证:f(x)≥2.
【解答】解:(Ⅰ) 因为f(1)<3,所以|a|+|1﹣2a|<3.
①当a≤0时,得﹣a+(1﹣2a)<3,
解得,所以;
②当时,得a+(1﹣2a)<3,
解得a>﹣2,所以;
③当时,得a﹣(1﹣2a)<3,
解得,所以;
综上所述,实数a的取值范围是.
(Ⅱ) 因为a≥1,x∈R,
所以f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|(x+a﹣1)﹣(x﹣2a)|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2.
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附赠:数学考试技巧
一、 心理准备
细心+认真=成功!1、知己知彼,百战百胜。
考场如战场,最大的敌人不是 难题,不是同学,而是自己。要知 道自己的短处。如,你做题比较急,题目还没看懂就开始答题、计算时不够细心、解大题时不肯动笔等。这对解决数学问题 是非常不利的,本学期有理数的运算,符号是常错点。 因此,认真、细心计算,你才百战 百胜。2、先易后难,各个击破。 题目70%是低档题,是同学们能轻 易得到的分数,一定不要失分于此。 20%是中档题,是稍加努力做出的题; 10%是高档题。做题中卡壳时不要急于 放弃,先要动脑思考片刻,实在想不出 再标记出来,等整张试卷做完后回头再 做。千万不要为一棵树木而丢掉整片森 林。
3、合理分配时间,检查很有必要。 不要急于迅速做完,踏踏实实做完 每一个题后认真检查。先检查有理数混 合运算、整式化简求值、解方程三类型 题。再检查填空题,最后是选择题。 解方程的检查可以将解带入原方程 进行检验,如果等号两边不相等要立即 查找每一步骤,找出错误改正。4、不纠结于不会的题,但不放弃“难题” ,当遇到自己不会做的题时,如果看题3遍都毫无思路,应该马上跳至下一题。所谓的“难题” 难在条件多,题意 长,多读几遍题,弄清所有的已知条件, 充分利用,就能得到应得的分数。二、技巧准备1、选择题 有些选择题可以代入答案验证;如 方程类型,代入验证比直接求解要简单 有些题目用赋值法(用某数字如1、2、0、-1、-2等代替字母),但是让字母的 值一定要符合题意。
2、填空题 书写要清晰,切忌乱改乱涂; 要求只填一个答案即可的一定不要 多填,多填是毛病; 注意有多解的情况; 填代数式的结果应化为最简结果, 即去括号合并同类型。是多项式要添加括号。3、解答题(1)计算题(计算考的是细心,不会太难的,一步步来,不要急着快点写完)
易错点:运算顺序;运算符号;别抄错数字和符号! 往往第二、第三步的运算顺序出错!
(2)化简后求值题
化简时原代数式可以用”原式”代 替,也可以抄一遍,但要抄准确。每一 步变形用“=”连接。 化简完后,按步骤书写:当a=…… 时,原式=……=……。 当字母的值没有直接给出时,要写出一些步骤求字母的值。 化简正确是关键,易错点:去括号时 漏乘,应乘遍每一项;括号内部分项忘了变号,要变号都变号;合并同类项时漏项,少抄了一项尤其常数项。字母颠倒的同类项,注意合并彻底。⑶解方程组 、不等式、不等式组
解方程组时:每一步只作一种变形,一步步来,不要跨度太大 而出错,解完可以带入原方程检验对不对; 解不等式、不等式组:严格按步骤去做,注意解集的确定,要利用数轴正确定解集;易错点:①去分母时漏乘不含分母项 (整数项也要乘以最小公倍数);②去括号时漏乘(没乘遍每一项)、部分项 忘记变号(要变号都变号);③移项忘 记变号;④将未知数系数化为1时分子 分母位置颠倒(x的系数作分母);⑷方程不等式的应用题
按列方程一般步骤:审、设、列、解、验、 答进行;按步骤得分,不可缺项。(一定要多看几遍题目!划出条件词语,把题目意思搞懂后在动笔。列方程和不等式时,记得把题目已知条件列在草稿纸上,还有中文等式) 方程思想是最常用的一种数学思想,不管在小题还是大题中,列方程求解很实用。成功历来都垂青于有准备的人!数学没有你想的那么难!你认为难是因为你的计算老是出错,你的理解没有到位,你的知识应用还没有熟练…… 补救的办法就是:①细心计算;②多读几遍题,把意思弄懂;③做完后反复检查。 相信聪明的你一定取得令大家满意的成绩,开开心心过暑假!
以自信轻松的心情参加考试,当成是完成一项任务,加油!!