以斐波那契数列为背景的试题探究

安徽省太和县太和中学 岳 峻 手机：180********

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一、斐波那契数列

斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？

斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列满足：且 这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.

事实上，斐波那契数列的通项公式为，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项又都不是无理数.

如何在高考试题中考查斐波那契数列呢？

二、以斐波那契数列为背景命制试题

（一）以斐波那契数列的概念为背景命制试题

【例1】意大利数学家斐波那契在1202年出版的一书里提出了这样一个问题：一对兔子被饲养到第二个月进入成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，所生产的小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生产一对小兔，以后每个月生产一对小兔，那么，这样下去到年底，应有多少对兔子？此问题的程序框图如下，空白处应填写 （ ）

A. B. C. D.

【解析】斐波那契数列总有根据程序框图分析可知， 正确答案为B.

【变式1】如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于 .

【解析】从第一行开始，各行的实心圆点的个数依次为显然符合斐波那契数列的定义，第15行的实心圆点个数为第14个斐波那契数377.

【例2】（2004北京市中学生数学竞赛）设是方程的两个根，数列中满足.证明：对任意正整数，都有

【解析】因为是方程的2个根，则

因此

从而即

【例3】（2009福建）5位学生围成一圈依序循环报数，规定：

（1）第1位学生首次报出的数为1，第2位学生首次报出的数也为1，之后每位学生所报出的数都是前2位学生报出的数之和．

（2）若报出的数为3的倍数，则报该数的学生,需拍手一次．

已知学生甲第1个报数，当5位学生依序循环报到第100个数时，学生甲拍手的总次数为 .

【解析】设报到第个数为，则

归纳发现为3的倍数.下面用数学归纳法证明：

（1）当时，，命题成立；

（2）假设时，为3的倍数，则当时，

也是3的倍数.

由（1）（2）可知，为3的倍数.依题意，学生甲报的数为，这些数中是3 的倍数有，故学生甲拍手的总次数为4.

（二）以斐波那契数列的性质为背景命制试题

【例4】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数列中的第 项.

【解析】斐波那契数列总有则

，

，

，

……，

，

所以

故是斐波那契数列中的第2016项.

【性质1】斐波那契数列的前项的平方和:即

【例5】斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列.那么是斐波那契数列中的第 项.

【解析】由，，，……，，

可得：

故是斐波那契数列中的第2016项.

【性质2】斐波那契数列的奇数项之和：即

【例6】著名的斐波那契数列：满足那么是斐波那契数列中的第 项.

【解析】由，，……，，

可得：

故是斐波那契数列中的第2015项.

【性质3】斐波那契数列的偶数项之和：

即

【例7】同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.在斐波那契数列中，若那么数列的前2014项的和为 .

【解析】由，，，……，

可得：

故数列的前2014项的和为

【性质4】斐波那契数列的前项之和即

【性质5】连续三项斐波那契数后两项乘积与前两项乘积的差，是中间项的平方，即.

【归纳】斐波那契数列的简单性质的证明总是运用其特征式的变形或进行裂项，从而达到相消求和的目的.

【例8】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.

（1）某学生发现以下特征：由此可归纳出一个结论？能否给出证明？

（2）证明：

【解析】（1）证明如下：

①当时，显然成立.

②假设当时，即

则当时，

这就是说，当时等式成立.

根据①和②，可知等式对任意正整数都成立成立.

（2）①当时，左右显然成立.

②假设当时，即

则当时，

这就是说，当时等式成立.

根据①和②，可知等式对任意正整数都成立成立.

【例9】函数满足.若不等式对任意的恒成立，则的最小值是 .

【解析】斐波那契数列满足：则

因为，，

所以

而

故只需即的最小值是

【探究】斐波那契数列中，还有许多性质，如：

①连续两项斐波那契数的平方和仍是斐波那契数，即；

②相间两项斐波那契数的平方差仍是斐波那契数，即；

③连续三项斐波那契数后两项的平方和与第一项的平方之差仍是斐波那契数，即；

④下标为的前项斐波那契数之和满足.

【例10】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.某学生在自主学习了杨辉三角之后，发现它与斐波那契数列以下特征：

……

你可归纳出什么结论？请给以证明.

【解析】.

数学归纳法证明如下：

①当时，结论显然成立.

②假设当时，结论成立，讨论为奇数的时候，

，

则当时，

这说明为奇数的时候，结论成立；同理可证为偶数的时候，结论也成立.这就是说，当时等式成立.

根据①和②，可知等式对任意正整数都成立成立.

（三）以斐波那契数列的模型为背景命制试题

1.攀爬楼梯问题

【例11】 小学生甲玩耍上楼梯的游戏：建筑物有级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？

【解析】 设小学生爬个台阶有种方法.考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前个台阶有种方法；若最后一步迈两级台阶，则前个台阶有种不同的方法.由加法原理得：，易知其初值，，则

故小学生级台阶的楼梯有89种不同的爬楼方法.

【变式2】高中学生甲到教室有级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶，问这位学生有多少种不同的爬楼方法？

【解析】设学生甲攀爬个台阶有种方法.考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前个台阶有种方法；若最后一步迈两级台阶，则前个台阶有种不同的方法；若最后一步迈三级台阶，则前个台阶有种不同的方法.

由加法原理得：，易知其初值，，，则

故该学生上级台阶的楼梯有149种不同的爬楼方法.

2.覆盖问题

【例12】 用的骨牌覆盖的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？

【解析】设用的骨牌覆盖的棋盘有种不同的覆盖方法，将棋盘横向水平放置.

考虑最后一个骨牌的放法：若竖直放置，则有种不同的覆盖方法；若横向放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有种不同的覆盖方法.

由加法原理得： ，其初值为，

因此，

故用的骨牌覆盖的棋盘，有89种不同的覆盖方法.

3.0-1序列问题

【例13】由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个0-1序列的长度.如010*******是一个长度为10的0-1序列，求长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数.

【解析】设长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有个.考虑最后一个数：如果最后一位是0，则只要前位任何两个1不相邻即可，因此，满足要求的序列有个；若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前位任何两个1不相邻即可，因此满足要求的序列有个，由加法原理得：，

由初值，则

所以，长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有144个.

【归纳】此类与自然数有关的问题，悟出其蕴含的递推关系，建立连续三项之间的递推关系的数学模型，由初始项的数据结合递推关系求解.

【变式3】(1)学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？

(2)用1,2,3,4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成多少个不同的100位数？

【解析】(1)设甲投掷次，不连续出现正面的可能情形有种，考虑最后一次投掷：若最后一次呈现反面，则前次有种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二次必是反面，前次有种不同的方法.由加法原理得：，易知其初值，，则

所以甲投掷次，不连续出现正面的可能情形有种.

(2)设用1,2,3,4四个数字组成符合条件的一个位数，有种方法.

若末位是1，则倒数第二位只能是2,3或4，符合条件的有个；

若末位是2,3或4，则符合条件的有个；

由加法原理得：，又

所以

故用1,2,3,4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有9105个.

4.染色问题

【例14】（2011湖北）给个自上而下相连的正方形着色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：

由此推断，当时，黑色正方形互不相连的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种.（结果用数值表示）

【解析】时，黑色正方形互不相连的着色方案种数分别为2，3，5，8，由此可看出后一项总是前2项之和，故时应为时应为

所以时，所有的着色方案种数共故至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有种.

答案为21；43.

5.几何问题

【例15】半径为1的两个圆⊙、⊙外切，是它们的一条外公切线，作⊙和⊙、⊙、均相切，作⊙和⊙、⊙、均相切……，作⊙与⊙、⊙、均相切，求⊙的半径.

【解析】作，过作的平行线分别交于,作于，则，

因为

同理，

可得： 即

令，则，且，

所以

6.函数问题

【例16】（2012江西）观察下列各式：

则

A.28 B. 76 C. 123 D.10

【解析】设则

通过观察不难发现：从而

故故选C.

【评注】

显然符合斐波那契数列的递推关系.

【例17】（2012上海）已知各项均为正数的数列满足.若，则 .

【解析】设由，得：解得.则：则同理.

又则

故

（四）以斐波那契数列的模型为背景的不等式证明问题

【例18】数列满足关系，且

证明：

证明：（1）当时，命题成立；

（2）当时，有

则当时

且

故命题成立.

【例19】（2009陕西）已知数列满足.

（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；

（2）证明：

【解析】（1）因为则，即

所以由猜想：数列的单调递减.

下面用数学归纳法证明.

①当时，命题成立；

②假设时，易知则当时，

即

由（1）（2）可知，当时，命题也成立.故待证等式成立.

（2）当时，

当时，因，则，

所以

斐波那契数列包含着太多的神奇和奥秘，远比等差数列与等比数列的内涵丰富，更加令人陶醉！这也正是斐波那契数列的魅力所在.如何在中学数学教学中，让学生领略斐波那契数列的魅力还有待进一步探索.

（2015年江南十校二模）如图，某人从第一个格子开始，每次可向前跳1格或2格，那么此人跳到第10个格子的方法种数为

A.13种 B. 21种 C. 34种 D.55种

斐波那契数列