实数基本定理

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Ch8实数基本定理
计划课时：8时
§0连续统假设简介（2时）

一．数的发展简史：参阅《数学分析》选讲讲稿P66—76（1997.8.10）.

1.

其余则是我们人类的事了.
2.3.

不可公度性的发现及其深远影响.
Pythagoras（约在纪元前六世纪），Hippasus，LeonardodaVinci称为
“无理的数”.Eudoxus,Euclid.
4.微积分的建立:
Newton,Leibniz;Euler,Lagrange,D′Alembert,Laplace;
算术连续统假设的建立及其破灭:从自然数系到有理数系:
自然数的产生:十九世纪数学家LeopoldKronecker说:上帝创造了整数,
Voltaire,B.Berkeley.

十九世纪分析学理论的重建工作:B.Bolzano,A.Cauchy,Abel,Dirichlet,
Weierstrass.Archimedes数域.

5.实数系的建立:


十九世纪后半叶由Weierstrass,Meray,Dedekind,Cantor等完成.
二.连续统假设:
1.连续统假设:以Cantor实数为例做简介.
Cauchy(1789—1857,法,Bolzano(1781—1845,Cantor(1829—1920.

在他们的著作中表现了实数连续性的观点.1900年,哥庭根大学教授Hilbert
(1862—1943,德在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中,提出了二十三个研究课题,
其中的第一题就是所谓连续统假设.首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述.
(参阅D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160—161.
连续统假设的研究现况.
2.实数基本定理:
连续统假设的等价命题.共有九个定理,我们介绍其中的七个.另外还有
上、下极限定理和实数完备性定理.
§1实数基本定理的陈述（4时）

一．确界存在定理：回顾确界概念．

Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.

二.单调有界原理:回顾单调和有界概念.

Th2单调有界数列必收敛.


三.Cantor闭区间套定理:
1.
区间套:设{[an,bn]}是一闭区间序列.若满足条件
ⅰ>对n,有[an1,bn1][an,bn],即anan1bn1bn,亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ>bnan0,(n.即当n时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套.

简而言之,所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.
区间套还可表达为:
nan0,(n.a1a2anbnb2b1,b
我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列{an}和{bn},其中{an}递增,
{bn}递减.
(1n2111
,1]}、例如{[,]}和{[0,]}都是区间套.但{[1nnnnn
111
{(0,]}和{[,1]}都不是.
nnn
2.
Cantor区间套定理:
Th3设{[an,bn]}是一闭区间套.则存在唯一的点,使对n有[an,bn].简言之,区间套必有唯一公共点.
四．Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件:
1.
例1验证以下两数列为Cauchy列:
基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy列.

⑴xn0.9sin0.90.92sin0.90.9nsinn0.9.
11(1n1
⑵an1.
352n1
解⑴|xnpxn||0.9n1sinn10.90.9npsin
np
0.9|
0.9
n1
0.9
np
0.9
n1
0.9
np
0.9n1
100.9n1;
10.9
对0，为使|xnpxn|，易见只要n1于是取N.⑵|anp
10.lg0.9
lg

(1n2(1n3(1np1
an|
2n12n32(np1
11(1p1
.
2n12n32(np1
当p为偶数时,注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号,有
1112n12n32(np1
111111
0,
2n12n32n52n72(np32(np1
又
111
2n12n32(np1

111111
2(np52(np32(np12n12n32n5
1
.2n1
当p为奇数时,
111
2n12n32(np1


11111
2(np52(np32(np10,2n12n3
111
2n12n32(np1


111111
.2n12n32n52(np32(np12n1
综上,对任何自然数p,有
11(1p111
0.……2n12n32(np12n1n

Cauchy列的否定:例2xn
1
.验证数列{xn}不是Cauchy列.k1k
n
证对n,取pn,有|xnpxn|因此,取0
111n1
.n1n2nn2n2
1
,……2
2.Cauchy收敛原理:
Th4数列{an}收敛{an}是Cauchy列.
(要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明
五.致密性定理:
数集的聚点(亦称为接触点:
定义设E是无穷点集.若在点(未必属于E的任何邻域内有E的无

穷多个点,则称点为E的一个聚点.
数集E={}有唯一聚点0,但0E;开区间(0,1的全体聚点之集是闭区间
1n
[0,1];设Q是[0,1]中全体有理数所成之集,易见Q的聚点集是闭区间[0,1].
1.
列紧性:亦称为Weierstrass收敛子列定理.

Th5(Weierstrass任一有界数列必有收敛子列.
2.聚点原理:Weierstrass聚点原理.
Th6每一个有界无穷点集必有聚点.
六.Heine–Borel有限复盖定理:
1.
复盖:先介绍区间族G{I,}.
定义(复盖设E是一个数集,G是区间族.若对xE,,xI,则称区间族G复盖了E,或称区间族G是数集E的一个复盖.记为EI,.

若每个I都是开区间,则称区间族G是开区间族.开区间族常记为
M{(,,,}.
定义(开复盖数集E的一个开区间族复盖称为E的一个开复盖,简称为E的一个复盖.

子复盖、有限复盖、有限子复盖.
例3M{(,
x3x
,x(0,1}复盖了区间(0,1,但不能复盖[0,1];22
H{(x
bxbx
,x,x(a,b}复盖[a,b,但不能复盖[a,b].22

2.
Heine–Borel有限复盖定理:
Th7闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.
.
§2实数基本定理等价性的证明（4时）

证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行:
Ⅰ:确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则确界原理;
Ⅱ:区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则;
Ⅲ:区间套定理Heine–Borel有限复盖定理区间套定理.
一.“Ⅰ”的证明:(“确界原理单调有界原理”已证明过.

1.用“确界原理”证明“单调有界原理”:
Th2单调有界数列必收敛.证
2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
Th3设{[an,bn]}是一闭区间套.则存在唯一的点,使对n有[an,bn].证
系1若[an,bn]是区间套{[an,bn]}确定的公共点,则对0,N,当nN时,总有[an,bn](,.

系2若[an,bn]是区间套{[an,bn]}确定的公共点,则有
an↗,bn↘,(n.
3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
Th4数列{an}收敛{an}是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列.(证
Th4的证明:(只证充分性教科书P217—218上的证明留作阅读.现采用
[3]P70—71例2的证明,即三等分的方法,该证法比较直观.
4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：
Th1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界.
证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设E为非空有上界数集.当E为有
限集时,显然有上确界.下设E为无限集,取a1不是E的上界,b1为E的上界.对
分区间[a1,b1],取[a2,b2],使a2不是E的上界,b2为E的上界.依此得闭区间列
{[an,bn]}.验证{bn}为Cauchy列,由Cauchy收敛准则,{bn}收敛;同理{an}收敛.
易见bn↘.设bn↘.有an↗.下证supE.用反证法验证的上界性和最小性.
二.“Ⅱ”的证明:
1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:

Th5(Weierstrass任一有界数列必有收敛子列.
证（突出子列抽取技巧）

Th6每一个有界无穷点集必有聚点.
证（用对分法）
2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th4数列{an}收敛{an}是Cauchy列.
证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为{an}的极限.
Ex[1]P223—2241—7，11.
三.“Ⅲ”的证明:
1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel有限复盖定理”:证
2.用“Heine–Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”:
证采用[3]P72例4的证明.
Ex[1]P2248—12选做，其中10必做.

§3闭区间上连续函数性质的证明(4时

一.有界性:

命题1f(xC[a,b],在[a,b]上f(xO(1.

证法一(用区间套定理.反证法.
证法二(用列紧性.反证法.

证法三(用有限复盖定理.
二.最值性:
命题2f(xC[a,b],f(x在[a,b]上取得最大值和最小值.
(只证取得最大值
证(用确界原理参阅[1]P226[证法二]后半段.
三.介值性:证明与其等价的“零点定理”.
命题3(零点定理
证法一(用区间套定理.
证法二(用确界原理.不妨设f(a0,f(b0.
令E{x|f(x0,x[a,b]},则E非空有界,E有上确界.设supE,有[a,b].现证f(0,(为此证明f(0且f(0.取xn>且
xn,(n.由f(x在点连续和f(xn0,f(limf(xn0,
n
E.于是tnE,tn(n.由f(x在点连续和f(tn0,f(limf(tn0.因此只能有f(0.
n
证法三(用有限复盖定理.
Ex[1]P2321，2，5.
四.一致连续性:
命题4(Cantor定理


证法一(用区间套定理.参阅[1]P229—230[证法一]
证法二(用列紧性.参阅[1]P229—230[证法二]
Ex[1]P2323，4，6；P2361，2，4.
习题课（4时）

一．实数基本定理互证举例：
例1用“区间套定理”证明“单调有界原理”.
证设数列{xn}递增有上界.取闭区间[a1,b1],使a1不是{xn}的上界,b1是{xn}的上界.易见在闭区间[a1,b1]内含有数列{xn}的无穷多项,而在[a1,b1]外仅含有{xn}的有限项.对分[a1,b1],取[a2,b2]使有[a1,b1]的性质.…….于是得区间套{[an,bn]},有公共点.易见在点的任何邻域内有数列{xn}的无穷多项而在其外仅含有{xn}的有限项,limxn.
n
例2用“确界原理”证明“区间套定理”.
证{[an,bn]}为区间套.先证每个am为数列{bn}的下界,而每个bm为数列的上界.由确{an}界原理,数列{an}有上确界,数列{bn}有下确界.设inf{bn},sup{an}.
.易见有anbn和anbn.由bnan0,(n，
例3用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.

证(用反证法设S为有界无限点集,S[a,b].反设[a,b]的每一点都不是S的聚点,则对x[a,b],存在开区间(x,x,使在(x,x内仅有S的有限个点.…….
例4用“确界原理”证明“聚点原理”.
证设S为有界无限点集.构造数集E{x|E中大于x的点有无穷多个}.
易见数集E非空有上界,由确界原理,E有上确界.设supE.则对0,
由不是E的上界,E中大于的点有无穷多个;由是E的上界,
E中大于的点仅有有限个.于是,在(,内有E的无穷多个点,

即是E的一个聚点.
二.实数基本定理应用举例：
例5设f(x是闭区间[a,b]上的递增函数,但不必连续.如果f(aa,
f(bb,则x0[a,b],使f(x0x0.(山东大学研究生入学试题
证法一(用确界技术.参阅[3]P76例10证法1
设集合F{x|f(xx,axb}.则aF,F不空;F[a,b],
F有界.由确界原理,F有上确界.设x0supF,则x0[a,b].下证f(x0x0.
ⅰ>若x0F,有f(x0x0;又f(x0f(bb,得f(x0[a,b].由
f(x递增和f(x0x0,有f(f(x0f(x0,可见f(x0F.由x0supF,
f(x0x0.于是,只能有f(x0x0.

ⅱ>若x0F,则存在F内的数列{xn},使xn↗x0,(n;也存在数列
{tn},x0tnb,tn↘x0,(n.由f递增,xnF以及tnF,就有式xnf(xnf(x0f(tntn对任何n成立.令n,得x0f(x0x0,
于是有f(x0x0.
证法二(用区间套技术,参阅[3]P77例10证法2当f(aa或f(bb
时,a或b就是方程f(xx在[a,b]上的实根.以下总设f(aa,f(bb.对分
区间[a,b],设分点为c.倘有f(cc,c就是方程f(xx在[a,b]上的实根.(为
行文简练计,以下总设不会出现这种情况.若f(cc,取a1c,b1b;若
f(cc,取a1a,b1c,如此得一级区间[a1,b1].依此构造区间套{[an,bn]},对n,有f(anan,f(bnbn.由区间套定理,x0,使对任何n,
有x0[an,bn].现证f(x0x0.事实上,注意到n时an↗x0和bn↘x0以及f递增,就有
anf(anf(x0f(bnbn.令n,得x0f(x0x0,于是有f(x0x0.
例6设在闭区间[a,b]上函数f(x连续,g(x递增,且有f(ag(a,

f(bg(b.试证明:方程f(xg(x在区间(a,b内有实根.

（西北师大2001年硕士研究生入学试题）
证构造区间套{[an,bn]},使f(ang(an,f(bng(bn.由区间套定理,

,使对n,有[an,bn].现证f(g(.事实上,由g(x在[a,b]上
的递增性和[an,bn]的构造以及an↗和bn↘,,有
f(ang(ang(g(bnf(bn.
注意到f(x在点连续，由Heine归并原则,有
limf(anf(,limf(bnf(.
n
n
f(g(f(,f(g(.为方程f(xg(x在区间(a,b

内的实根.
例7试证明:区间[0,1]上的全体实数是不可列的.

证(用区间套技术,具体用反证法反设区间[0,1]上的全体实数是可列的,
即可排成一列:
x1,x2,,xn,
把区间[0,1]三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含x1，记该区间为一
级区间[a1,b1].把区间[a1,b1]三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含x2，记该区间为二级区间[a2,b2].…….依此得区间套{[an,bn]},其中区间[an,bn]不含
x1,x2,,xn.由区间套定理,,使对n,有[an,bn].当然有[0,1].
但对n,有xn[an,bn]而[an,bn],xn.矛盾.

实数基本定理

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