第五章相交线与平行线

同学们，你们对粕交线、平行线一 定不陌生吧！你看，大桥上的钢集和 钢索，棋盘上的横线和竖线.学校操场 上的双杠.教室中的课桌面、，黑板面相 邻的两条边与相对的两条边 都给

我们以相交线、平疔线的形第.你能庄 身边再找到一些相交线和平疔线的实 例吗？

两条直线相交能彫成哪些角？这 些角有什么粘征？什么样的两条直线 互柏垂直？垂线有什么性质？什么样 的两条直线互相平庁？互相平疔的直 线有什么特征？怎样平移一个图形？ 这些，都是本辛要学习的内容.

』相交线

5.1.1 相交线

ra >1-1

握紧把手时.随看两个把手之间的角逐渐变小. 剪刀刃之间的角也相应变小.直到剪开布片•如果把 旳刀的构造看作两条相交的W线，这就关系到曲条相 交直线(intersection lines)所成的角的问题.

任意画两条相交的直线.在形成的四个角(图5. 1-2)中.两两 相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关 系将它们分类.

分别量一下各个角的度数.各类角的度数有什么关系？为什么？ 在图5.1-1转动剪刀把手的过程中.这个关系还保持吗？

Z1和Z2有一条公共边("・它们的另一边互为 反向延论线(Z1和Z2互补).貝有这种关系的两个 角・勺.为邻补角(adjacent angles on a straight line).

Zl和/3有一个公共顶点O并H.Z1的两边分 别MZ3的两边的反向延氏线・具冇这种位遼关系的 两个角,互为对顶角(vertical angles).

在图5,1-2中，Z1与Z2互补，Z3与Z2互补. 由“同角的补角相等"・可以得出Z1 = Z3.类似地. Z2 = Z4.这样.我们得到：

对顶角相等.

你能利用这个性质解释前面观察中的现象吗？

例 如图5,1-3.直线a、b相交.Zl = 40\求 Z2. Z3. Z4的度数.

解，由邻补角的定义.可得

Z2=180°-Z 1 = 180°-40°= 110°；

由对顶角相等•可得

Z3=Z1=4O°°

4 = Z2=140° ・

对顶角吗？如果其中一个角是35°・其他三个 用各是多少度？这个馬是90—115°、h呢?

图 xl-6

如图5・1-7.

1.用三角尺或量命器画已知直线/的垂线.这样的垂线能画出 几条？

2.经过直线/上一点人画/的垂线.这样的垂线能画出几策？

3.经过直线/外一点〃画/的垂线，这样的垂线能画出儿条？

经过一点（L2知直线匕或直线外）.能価出已知直 线的一条垂线•并且只能画出一条垂线■瞼

过一点有且只有一条直线与己知点线垂直.

如图5・1-9. 连接直线/外一 点P与直线Z上 各点（人A】▼ , Aj・・・・・其 中PO_LI （我们 称P0为点P到

直线/的垂线段）.比较拔段卩（丿・PA・PA2.

PA3.…的长短.这些线段中•哪一条最短？

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中.垂 线段最短.

简单•说成’垂线段锻短.

fl线外一点到这条直线的垂线段的氏度.叫做点 到直线的距离.

现在・你知道水渠该怎么挖了吗?在图I•.画出来. 如果图中比例尺为1 : 100 000.水渠大约耍挖名K?

2.如图.直线AB. CD EF相交于点Q

(1)

(2)

(3)

复习巩固匚

写出匕/VO ZB（）E的邻补角：

写岀ZDOA、ZEOC的对顶角$

如果ZAOC=50°・求Z"OD、Z（OB的度数.

（第2题）

3.找出图中互相垂育的线段，并用三角尺检脸.

4.如图.在一张半透明的纸上画一条直线人在/上任取一点 P・在/外任取-点Q・折出过点"且与/垂直的IT线.这 样的直线能折出儿条？为什么？过点Q呢？

5.如图，HAE丄BC, CF丄AD.垂足分别为比F.

（第4軀）

D

(ft 6tf)

（第5即

“.如图・用ht角器iWiZAOB的平分线OC・在（XT：任取一点P・比较点P到（讥、 （M的距离的大小.

综合运用

7.如图•比线人乩CD相交于点ZE（r = 70\ 0A平分ZE（X.\求ZBOD的 ftft.

«.困中是对顶你能说;I：用它测城角的原理吗？

9・建筑匚人常在-根细绳上拴•个重物,做成一个“铅锂”.挂铅锤的线总乘住于地 面内的任何血线•当这条线贴近墙壁时•说明培与地面垂耳 请你也做•个铅寮 检脸••下你的课京桌腿等•叫看起来与地而垂血的物体足件姗实与地向垂m

hi.如图.这是小明鬧学在体ffiftk跳远后留下的脚印.他的跳远成绩址多少（比例 尺为 1 : 150）?

拓广探索

11.如圈.AB1I. HCA /. B为垂足.那么九 B. C三点在耐一 条直线上吗?

12.直线八〃、（Q相交于点O.

（1） OE、OF分别是ZAOC、ZBOD的平分线.画出这个图 形.

（2） 射线OE、OF在同-条血线上吗？

⑶ 画乙AOD的平分线（心（疋与OG冇什么位鞋关系？

10

“观察与猜想

看图时的錯觉

規察以下19形.并回签所提的问題.

1.圈1中的线段"与”哪一条牧？

侏对自己的结论有砂吗？和用劃度尺和三用尺爻一童、测一测・这时你的苓案是什么？ 要对事物作出某种判斯.总是虽于对这个亨物的观常、实於与理考，其中观察和实脸 是作出判斷的玄妥依携.所以，观察必灰认鼻、仔细，不能规枝大•+、马马虎虎.有时观 糜得出的猜想不一定正确.还要借助于实脸进行栓脸.

图4屮的线“与〃互相平行吗？如何检验？学习了后而的知识后・你的检验方法会更 多.

12 M.s>

5. 2. 1平行线

如图5.2-1,分别将木条a、b与木条（•钉在 一起.并把它们想象成两端可以无限延伸的三条 直境.转动s直线"从在c的左便1与苴毁b相交 逐步变为在右侧与”相交.想象一下・在这个过 程中.有没有直线"与直线〃不相交的位置呢？

在木条转动过程屮.存在一个直线G与直线厶不 相交的位JT，这时直线d与b互相平行（parallel）,记 作a H b.

平行线在生活中是很常见的（图5.2-2）・你还能 举出其他一些例子吗？

在同一平面内，两条玄线有几种位置关系？动手 画一画.

在图5.2-1转动木条&的过程中.有几个位 置使得a与力平行？如图5.2-3,过点H画直线 “的平行线，能画出几条？再过点「画直线。的 平行线.它和前面过点B画出的直线平行吗？

通过观察和画图.可以体验一个基本M实（平行 公理）:

经过直线外一点.有且只有一条直线与这条直线 平行.

同样.我们还有：

如果两条直线都与第三条直线平行.那么这两条 直线也互相平行.

也就是说;如果b//a. g 那么b//c（图5・2・4）・

图 5.2 I

14

5.2.2 直线平行的条件

例 在同一平面内，如果两条貢线都眶百于同一 条直线・那么这的条直线平行吗？为什么？

分析：垂直总与直角联系在一起.我们学过哪些 判断两条亶线平行的方法？

答：这两条直线平行.理山如下：

如图 5.2-10.

因为〃丄"• c丄

所以 Zl=Z2=90°.

从而 b//c （为什么）・

你还能利用氏他方法说明b//c吗？

这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部 分（图5.2-11）.其中的横榕坝互相平行吗？你 有多少种判别方法？

复习巩固

I.如图.为了加匍房屋.要在屋架上加一根横梁DE.使DE//BC.如果ZABC= 31\ Z/ADE应为多少度？

（第1題） （第Z题）

2•如图.•个弯形骨逍AMD的拐角ZABC=120°・ Z〃（D = 60°・这时说管道

An//cr）对吗？为什么？

3.如圏.这是两条道路互相垂直的交通路口.你能画岀它的平面示意图吗?类似地. 你能画出胸条道路成75°角的交通路口的示总图吗？

4.如图.宜线s b、「被直线？所截.北得Z1=Z2=Z3・

（1） 从Z1 = Z2可以得出哪两条直线平行？根据是什么?

（2） 从Z1=Z3 nJ以得出哪两条宜线平行？根据是什么?

（3） 青线a、b、「互相平行吗？根据是什么？

5•如图,冇一块玻璃,用什么方法可以检査相对的两边是否平行?

仇根据图中所给出的条件.找出互相平行的直线和互相垂宜的直线.

7・读下列语句.并画出图形；

（1）点卩是立线人“外一点，i［线经过点卩，r与r［线ab r行；

⑵ 血线AB、是相交克线•点P&ftmAB. CD外的一点.也线EF经过点 P且与直线平行.与直线CD相交于E.

&如图•利用平行线可以设计一些图案.请你设计一些类似图案.并把你的设计与 同学们交流一下.

（第8越）

9借助血尺、三角尺和量用器・在图中找出互相平行的直线和互相垂直的直线.

g如图.为了说明示总图中的平安大道与长安街是互相平行的•在地图上ttftJZl

=90\你能通过盛贰图中C标岀的氏他的角来验证这个结论吗？说岀你的理你

11.观察如图所示的长方体.用符号表示下列两梭的位置关系;

AJ3, AB. AA} AB・人卩 GD・

AD BC・

你能在教电里找到这些位餐关系的实例吗？与同学讨论•下.

12.两条燃被第三条直线所般，如果同位角相零・町以得出内错角

相氛 同旁内角互补.如果内错角相职 怎样得到同位角相轨 同旁内角互补?

平行线的性质

利用同位角相等.或者内错角相等.或者同 旁内角互补.可以判定两条直线平行.反过来. 如果两条直线平行.同位角、内错角、同旁内角 各有什么关系呢？

直尺和三角尺画两条平行线

a lib,然后.画一条截线t•与这

两条平行线相交，标出这些角

度量这些角，把结果填入下表； 困5.3-1

度数

各对同位角、内错角.同旁内角的度数之间 有什么关系？写出你的猜想：

两条平行线被第三条直线所截，同位角

.内错角 ,同旁内角 .

再任意画一条截线乩同样度量并计算各个 角的度数，你的猜想还成立吗？ •

第五草

平行线具有性质：

性质1两条平行线被第三条直线所截.同位角 相等.

性质2两条平行线被第三条直线所截.内错角 相等.

性质3两条平行线彼第三条直线所截・同旁内 角互补.

你能根据性质1・说出性质2、性质3成立的 道理吗？例如：

如图5・3-2・

因为a//b.

所以 Z1=Z2 ( ).

又 Z3 = (对顶角相等)・

所以Z2 = Z3.

类似地・对于性质3・你能说岀道理吗？

例 图5.3-3是一块梯形铁片的残余部分，秋得 ZA=100°・Z«= 115°・梯形另外两个角分别是多少度？

解：因为梯形上、下两底互郴平行.所UZA与 ZD互补，ZE与ZC互补.

于是

ZD= 180°-ZA=!80o-100<>= 80° •

ZC= 180°-ZB=180#-115°= 65°.

所以梯形的另外两个角分別是80°、65°・

用三角尺和直尺画平行 线.做成一张5X5个格子 的方格纸.观察做出的方格 纸的一部分（图5.3-4）, 线段Bi Ci, BG,…， B>CS都与两条平行的橫线 人艮和A2C5垂直吗？它

们的长度相等吗?

可以发现.线段BiCu ftQ.….BsG同时垂直 于两条平行的直线A民和AG・并且它们的长度相 等•像这样・同时垂直于两条平行线・并H夹在这两条 平行线间的线段的长度•叫做这两条平行线的距离•

前面.我们学过一些对某一件乍悄作出判断的语 句，例如：

<1）如果两条直线都与第三条直线平行.那么这

两条直线也互相平行，

<2）等式两边加同一个数.结果仍是等式：

（3）对顶角相等.

像这样判断一件那情的语句•叫做命题（proposition）. 许多命题都由题设和结论两部分细成.题设是 已知事项，结论是由已知弟项推出的M项.

命题通常写成“如果・・・・・・那么……"的形式.这

时■”如果”后接的部分是题设•“那么"后接的部分 是结论.例如.上面的命题（】）中两条点线都与 第三条直线平行•’是题设.“这两条直线也互相平行” 是结论.

（1） “等式两边乘同一个数.结果仍是等式”是命题吗？它的题 设和结论分别是什么？

（2） 命题“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”是正确 的吗？命题•'如果两个角互补.那么它们畏邻补角”呢？再举出一些 命题的例子.讨论一下它们是否正确.

复习巩固

I.如图.一条公路两次转弯后.和原来的方向相同.如枭第•次拐的角址36°・第 二次拐的角尺务少度？为什么？

综合运用

6.选择题；

(1)如图■由 AB//CLX nfW 得到()

(A) Z1=Z2.

(C) Z1=Z4.

(2)如图.AB//CD//EF・那么ZBAC4-ZACE4-^CEF=()

(A) l&T.

CO 360：

(第 6 fl)

7・光线在不同介质中的传播速度是不同的.因此当光线从水中对向空代时■要发生 折射.由于折射率相同.所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图, Zl=45\ Z2-122\求图中其他角的度数.

&如图•用式子表示下列句子，

（1）因为Z1和Z2相等・根据“内错角相等.两直线平行”.所以A〃和EF 丫 iri

⑵ 因为DE HC T行.根据"两点线平行.同位用相等J所=ZB.

Z3=“

叭如阳・这是一个国际象棋棋盘的示总图，它共有8 行8列・仿照它做出一张国际象棋的棋盘纸.类似 地•你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗？

10.操场中的柑交线与平行线.

(1)举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子i

(2)如果要你画岀一个篮球场地.你怎样做才能保证相应的线垂宜或平行呢？不 妨在纸匕试一试・

探索两条直线的位置关系

利用图形计幫若戎计菲机等倍息技术工具.可以很方便•克观地探索两条克线的位疋 关系.下而・我们以《几何禹板》软件为価Hit明.

I.探索邻补角，对顶角的关系

画两条相交充线4”、CD (ffi 1).农它们所成的4个商中.哪些互为邻补帘？哪些 互为对顶角？度童这四个血的度软・它们的大小有什么关系？抱动点BAAC・这个关系 还保持吗？

乙探索垂线段的性质

如困2. H)丄/•成八在克线/上运动.观察PO和P4的长度.你能发现什么结论？

1» 2

3.探索平行线的性质

如田3・过点「画亢线人"的平行线・度走所形成的8个用的度戟，它们有什么关 系？境另田3总面的表格：

关系

拖动AA. 这个关系还成立吗？

如图•再任意画两条克线以及它们的截线.类似地.度童它们所形成.的8个南的度 敦.它们存崔上述的关系吗？他动AB A点观茶这些角的度數•什么时候克线人B和

和用上而的规律.你能过点C画亢线A"的平行线吗（图5）?你冇儿种方法？利用 软件的画斎功能试一试.

仔细观察下面一些美丽的图案（图5.4-1）•它们 有什么共同的特点？能否根据其中的一部分绘制出整 个图案？

在所画出的相邻 两个雪人中，找出三 组对应点(例如，它 们的鼻尖A与4・帽 顶”与纽扣C与— 连接这些对应 点.观察得出的线段.它们的位置、长短有什么关系？

可以发现.AA,//BB7/CC,.并且 AAf= BHf = cc.

再作出连接一些其他对应点的线段•它们是否仍 有前面的关系？

2 •新图形中的每一点•都是由原图形中的某一点移动后得到的，这 两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.

图形的这种移动.叫做平移变换・简称耳移

(translation).

图形平移的方向.不一定足水平的•如图5- 1-5.

复习巩固

I.卜列图案可以由什么图形平移形成?

2.如图.通过平移・你能用它组成什么图案?试•试.把你的图案与 同学们交流•下.

3.在方格纸中平移三角形ABC.使点.4移列点M •点B和点C应移 到什么位置?再将点A由点M移到点N・分别画岀两次平移后的 三角形；如果直接平移三角形ABC・使点A移到点N・它和我fl前 面得到的三角形位置相同吗?

4.如图.•束些行光线（其屮每网条光线m村平行）止对杵一个图案及它后啲的瑞壁. 这个图案与它在墙匕的影子的形状和大小有什么关系?说出其中的逍理.

综合运用

5.用平移方法说明怎样得岀平行四边形的面积公式S=ah.

<9 5®>

"•许多类丽的图案郁足用平移的方法绘制而成的.如图，观察它们的变化规律，你能 类似地设计一些图案吗？

㊁◎㊁◎◎ ◎总◎㊁◎

7.（造桥选址问題）如图.A和B两地在•条河的两岸.现要在河上造一座桥MM 桥 造在何处才能便从.4到〃的路径AUXB放短？（假窒河的曲岸是平行的直线.桥嘤 与河垂轧）

（第7题）

阅读与思考

几何学的起源

我们生活的世界址处存农酋关于数量和空间的问題.数学中以空间形式（简称形）为研 究对韋的分更.叫做几何学.它有希悠久的历史.

在古埃及.向于尼罗河经常泛滥而需要不斯整修 土地.由此测*土地的方法引超人们的晝視.几何学 的英文单诃KeOniHry就是曲£（土地）和hlc!t\f （测 曼》纽成的.我凶古代対形的研究也与测童关系密切. 夏禹治氷时期就己有規、4£v准、縄爭测童工具・约 公尢前】000年的西周初期.人们已经知遗了立角三対

形的”勾三.股四•弦五"（即如果支角三角形的两条 从4埃及金字城町以发现.巧时

直介边的长分别是3和！・那么针边的长畏5）的* 人们（2華握林度很髙的儿何^WfUil

实.大量审实说明.测量活动是几何学形成的直接原算方法•

人类从幵始制作和使用工几起.就幵始研究 工具的适愛、休积、外表装饰辛，这也对几何学 的产生起了促进作用.从现存的旧无器时代的一 些工具.可以•看出当时的人们已能於制出几有较 复杂的儿何進型的器皿.在新石器时代制作的闊 器上.已出现圆、三角形、正方形竽恳本因形. 以及史R粮的对称几何图案、等分3］周花纹爭.

随着时间的推移.人们 斜方格纹彩紳（辭耶甘船旳 崔灼的实践中柚扩“

恤深财形的认识.得剑了许$关于形的如识和硏究形的方法.约公龙 前300年.古帝貉敕学家欧几里拜（Euclid）广逆收集和研完前人的减 果.将已有的关于形段歎的知识作了系统编摊・写成了《原本》一书. 达是儿何发展史上的一个里翟碑.

活动I你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李強、张明、王玲三位同学分别想岀了过一点

画一条JL线的平行线的斯的方法.他们分别是这样做的?

李强

过点P作4线A>

作 2 2=21

⑷

张明

你还冇其他方法吗？动手试一试.与同学们交流一下.

活动2画出你的上学路线

如图，这是王非同学画的自己上学的路线.你能画

活动3设计美丽的图案

利用平移.可以设计非常美丽的图 案.例如右图中毎一匹马都可以由正方 形上的平移得到.如下图所示.

类似地.你还能设计一些图案吗？

一.本章知识结构图

二、回顾与思考

1 •在平面内.不重合的两条直线的位置关系有两种：相交、平行.在研究 平行钱时.常常是通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质的.下面 是本章学到的一些数学名词.你能用自己的语言给它们一个简短的描述吗？你 能画出一个图形来表示它们吗？

对顶角、邻补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移.

2.对顶角有什么性质？你会度量点到直线的距离和两条平行线的距离吗？

3.怎样判别两条直线是否平行？平行线有什么特征？对比平行线的性质和 直线平行的条件.它们有什么异同？

4.图形平務时.连接各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一些 图案吗？

5・学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、归纳、对比来 寻找图形中的位置关系和数量关系.从而发现图形的性质.

复习巩固

1.判晰题(正确的画"・错谋的画x)・

(1》"、b、c lift线.H. a/fb. bjfc,则 a//e.

(2) “、b、c是血线.Hd丄”，b丄c则4丄u

2.如图.

<1>如果Zl=60°・求/2, Z3, Z4的度数.

(2>如果2Z3=3Z】・求Z2, Z3・Z4的度数.

^3&>

A.如图・AB丄CO垂足为O F：F经过点O・Z】=26°・求/2・/3・Z4的度数.

4.根据下列语句画出图形‘

(1)过线段AB的中点C・作CD丄AB；

(2)点P到直线AB的距离是3 cm・过点P作査线AB的垂线PC：

(3)过三角形ABC内的一点P・分别作.2、BC C4的平行线.

5.如图.某人骑自行车自A沿正东方向前进.至B处氐 行驶方向改为东傅南氏°・ 行驶到C处仍按正东方向行駛・画出继续行驶的路线.

(>.如图.Zl=30°・ Z"=60°・ AB丄人C

(1)ZDAB+ZB等于多少度？

(2)AD与BC平行吗? AB与CD平行吗?

7.如图.乎行线s力被K线"斤锻.知道Z1〜Z8中一个角的度数•能否求出其他角 的度数？如果能.用其中一个角表示岀其他各角.

综合运用

«.选rm：

(1)如图，点E ft AC*的延长线上.下列条件中能判断AB//CD的艮(> (A) Z3 = Zh (B) Z1=Z2.

(C> ZD=ZDCK (【))ZD+ZAC/>=180°.

C2)如图.Zl+,2=180°・ Z3 108\ 则Z，l 的度数是()

(A) 72°.

(C> 82：

9•图中所示为•组护网的示意图•它町看成由两组平行线组成.你能通过检验一些角 的大小来判断它们是否平行吗？说出你的理由.

12.如图.这是一套住房的平面图.图中冇许多相交线和平行线.你家的住房.选 择适当的比例尺.画出它的平而图.你能自己设计一个户型吗？

13.一个台球桌的桌面如图所示.一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ.碰斤PQ匕的 点B后便反弹而滚向桌边RS,碰着RS上的点C便反弹而滚向点D・如果PQ〃 RS・AB、BCX CD都是直线.且ZABC的平分线B.V垂玄于PQ・/BCD的平分 线（、M垂直于RS・那么.球经过两次反弹后所滚的路径（D昆话平行于原来的路 径AB?

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