正弦交变电流有效值计算公式的推导

广西贺州高级中学（542800） 毛 亮

【摘 要】［摘 要］ 对交流电有效值定义的理解和应用以及各种交流电的有效值的计算是高考对学生知识和能力考查的内容之一。人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书物理选修3-2中，正弦交变电流的电压和电流的有效值是一个重要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出了结论。文章用微积分法、平均值法、三角函数法对正弦交变电流的有效值进行推导，学生可以根据自己的情况选择。

【期刊名称】中学教学参考

【年(卷),期】2018(000)017

【总页数】2

【关键词】［关键词］ 交变电流；有效值；公式推导

交变电流是高中物理选修3-2的内容，是指电流的大小和方向都随时间作周期性变化的电流，在生活中运用最广的是有效值，如：1.计算与电流热效应相关的量（如功率、热量）；2.交流电表的测量值；3.电气设备标注的额定电流.4.保险丝的熔断电流。对交流电的有效值定义的理解和应用及各种交流电的有效值的计算也是高考对学生知识和能力考查的内容。那么怎样计算正弦交变电流的有效值呢？交流电的有效值是根据电热效应来规定的，简称“三同”，即让交流和直流通过相同阻值的电阻，经过相同的时间，产生相同的热量，就把这一直流的数值叫作这一交流电的有效值，即用与交变电流有相同热效应的直流电流来等效替代交变电流在能量方面所产生的平均效果。人教版实验教科书物理选修3-2中，正弦交变电的电压和电流的有效值是一个重要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出：I=

本文用微积分法、平均值法、三角函数法对正弦交变电流的有效值进行推导，以便学生理解掌握。

一、微积分推导法

物理学科与数学学科有着密切的联系，在运用物理知识解题时，一般要进行数学推理和运算。同时新课改以来，数学教材已经发生了变化，在高中阶段已经引入了导数和微积分的内容，而微积分的引入对高中物理的教学是有促进作用的，虽说学习起来有点难，但是有利于进入高校后的学习。

现有一正弦交变电流，如图1，它的瞬时表达式为i1=Imsinωt。

交流电的电流、电压及功率都是随时间变化的，其中电

要求交变电流产生的焦耳热，可以对交变电流的功率在一个时间周期上求积分得到：

根据交变电流有效值的定义可知，当直流电流作用在相同的电阻上，经过相同的时间产生相同的热效应时，直流电流的值就是交变电流的有效值。因为交变电流的大小和方向随时间做周期性变化，一般用平均功率来描述交变电流在一个周期内产生的效果。

现有一正弦交变电流，它的瞬时表达式为i1=Imsinωt，则交变电流在纯电阻R上消耗的瞬时功率为：

因为电路中功率是标量，虽然通过电阻R的电流i在变化，但是由于通过电阻R的电流i和电阻两端电压u无相位差，所以总功率都是等于逐个时间段功率之和。如图2所示的P-t图

二、平均值法

像，根据对称性把P-t图像与t轴围成的面积进行割补，即A补a、B补b、C补c、D补d，对应割补后，就会得到一个矩形OPET。

根据在P-t图像中，图像与坐标轴所围成的面积在数值上等于这段时间内交变电流在负载R上做的功，由功能关系和P-t图像的物理意义可得Q=W=Pt，所以交变电流在纯电阻R上消耗的平均功率P是瞬时功率P在一个周期T内对时间的平均值，即

根据交变电流有效值的定义可得：I2RT=Pt

三、三角函数法

现有两个交变电流，其电流变化规律如图3所示，两电流的最大值与周期都相同，它们的瞬时表达式分别为i=Isinωt、i=Icosωt，其中ω=，把它们分别加在两个1m2m相同的电阻R上，经过相同的时间T，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热相同，设都为Q，产生的总焦耳热Q总=2Q。

根据以上的结论分析有一交变电流如图4所示，取两个周期，电流分别为：i1=Imsinωt，i2=Imcosωt。

设它们的交流电流的有效值为I，则有Q总=2Q=I2RT

在任意一个时刻t，两周期的发热功率分别为：

P1=（Imsinωt）2RT P2=（Imcosωt）2RT

总发热功率为：

P 总=P1+P2=（Imsinωt）2RT+（Imcosωt）2RT

提公因式化简得：P总=RT（sin2ωt+cos2ωt）

由sin2ωt+cos2ωt=1得在两个周期的焦耳热为：

P总=RT

根据交流电的有效值的定义则有I2R2T=I2mRT

（责任编辑 易志毅）

【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_reference-middle-school-teaching_thesis/0201226817638.html

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