一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合，下列结论正确的是（　　）

A．A＝B B．A＝C C．B＝C D．A＝B＝C

【解答】解：A＝{x|x≠0}，B＝{y|y≠0}，C表示曲线y上的点形成的集合；

∴A＝B．

故选：A．

2．（5分）已知集合，若B⊆A，则实数k的值为（　　）

A．1或2 B． C．1 D．2

【解答】解：∵集合，B⊆A，

∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，

解得实数k＝2．

故选：D．

3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．f（x）＝2lgx，g（x）＝lgx2 B．

C．f（x）＝x，g（x）＝10lgx D．

【解答】解：A．f（x）＝2lgx，g（x）＝lgx2＝2lg|x|，解析式不同，不是同一函数；

B．f（x）＝1（x≠0}，，解析式不同，不是同一函数；

C．f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝10lgx的定义域为（0，+∞），定义域不同，不是同一函数；

D．f（x）＝2x的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．

故选：D．

4．（5分）某班共50名同学都选择了课外兴趣小组，其中选择音乐的有25人，选择体育的有20人，音乐、体育两个小组都没有选的有18人，则这个班同时选择音乐和体育的人数为（　　）

A．15 B．14 C．13 D．8

【解答】解：如图，设音乐和体育小组都选的人数为x人

则只选择音乐的有（25﹣x）人，只选择体育小组的有

（20﹣x）人，

由此得（25﹣x）+x+（20﹣x）+18＝50，

解得x＝13，

∴音乐和体育都选的学生有13人，

故选：C．

5．（5分）定于集合A，B的一种运算“*”：A*B＝{x|x＝x1﹣x2，x1∈A，x2∈B}．若P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，2}，则P*Q中的所有元素之和为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：P*Q＝{x|x＝x1﹣x2，x1∈P，x2∈Q}＝{﹣1，0，1，2，3}，

P*Q中的所有元素之和为5．

故选：A．

6．（5分）若2a＝0.5，b＝2.70.3，c＝0.32.7，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

【解答】解：∵由2a＝0.5可得a＝log20.5＝﹣1，b＝2.70.3＞2.70＝1，0.30＝1＞c＝0.32.7＞0，

∴a＜c＜b．

故选：D．

7．（5分）已知2x＝3y＝a，且 2，则a的值为（　　）

A． B．6 C．± D．36

【解答】解：∵2x＝3y＝a，∴xlg2＝ylg3＝lga，

∴，，

∴2，

∴lgalg6，

解得a．

故选：A．

8．（5分）函数的零点所在的区间是（　　）

A． B． C． D．（1，2）

【解答】解：由函数的在R上是增函数，f（）＝10，f（）0，

且f（）f（）＜0，可得函数在区间（，）上有唯一零点．

故选：C．

9．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）+f（3﹣2x）＜0的解集为（　　）

A．（4，+∞） B．（﹣∞，4） C． D．

【解答】解：函数，是奇函数，在R上是减函数，不等式f（x+1）+f（3﹣2x）＜0，可得f（x+1）＜﹣f（3﹣2x）＝f（2x﹣3），

解得：x+1＞2x﹣3，可得x＜4，

所以不等式f（x+1）+f（3﹣2x）＜0的解集{x|x＜4}．

故选：B．

10．（5分）已知f（x）是定义在R上的单调函数，若f[f（x）﹣ex]＝1，则f（e）＝（　　）

A．ee B．e C．1 D．0

【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的单调函数，若f[f（x）﹣ex]＝1，

则f（x）﹣ex为常数，设f（x）﹣ex＝t，则f（x）＝ex+t，

又由f[f（x）﹣ex]＝1，即f（t）＝1，则有et+t＝1，

分析可得：t＝0，

则f（x）＝ex，

则f（e）＝ee，

故选：A．

11．（5分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点，设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（lnn），则（　　）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c

【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点，

∴，解得m＝2，n，

∴f（x），

∴f（x）＝x在（0，+∞）是增函数，

0＜ln1，

∴f（2）＞f（）＞f（ln），

∴a＞b＞c．即c＜b＜a．

故选：A．

12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣t＝0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是（　　）

A．[0，1] B．（0，1） C．[0，log23] D．（0，log23）

【解答】解：方程f（x）﹣t＝0有3个不同的实数根，

画出y＝f（x）的函数图象以及y＝t中的图象，|log23|＞|log22|＝1，

t∈（0，1），

故选：B．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）设集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＜5}，那么（∁RA）∩B＝　[1，5）　．

【解答】解：∵∁RA＝{x|x≥1}，∴（∁RA）∩B＝{x|1≤x＜5}．

故答案为：[1，5）．

14．（5分）函数的定义域是　[2，3）∪（3，4）　．

【解答】解：要使函数有意义，则；

解得2≤x＜4，且x≠3；

∴该函数定义域为[2，3）∪（3，4）．

故答案为：[2，3）∪（3，4）．

15．（5分）函数在定义域（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）上的增区间是　（﹣∞，﹣2）　．

【解答】解：根据题意，设t＝x2﹣x﹣6，则y，

函数t＝x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数，

而y为减函数，

则函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣2）；

故答案为：（﹣∞，﹣2）．

16．（5分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，若f（1）＝0，f（0）＜0，则不等式xf（x﹣1）＜0的解集是　（﹣∞，0）∪（0，2）　．

【解答】解：根据题意，f（x）在（0，+∞）上递增，且f（1）＝0，f（0）＜0，

则在[0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0，

又由函数f（x）为偶函数，

则在区间（﹣1，0]上，f（x）＜0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f（x）＞0，

xf（x﹣1）＜0⇔或，

分析可得：x＜0或0＜x＜2，

即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，2）；

故答案为：（﹣∞，0）∪（0，2）．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．

17．（10分）计算：（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

＝（）（）6﹣1﹣（）

＝（）72﹣1﹣（）

＝71．

（2）

＝lg5+lg2+log53×log35

＝lg10

＝1+1＝2．

18．（12分）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．

（1）求A∩B；

（2）设集合C＝{x|a≤x≤3a﹣2}，若C∩A＝C，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）由得，；

解得0≤x＜2；

∴A＝[0，2）；

∵﹣1≤x≤1；

∴﹣2≤x﹣1≤0；

∴；

∴B＝[1，4]；

∴A∩B＝[1，2）；

（2）∵C∩A＝C；

∴C⊆A；

∴①C＝∅时，a＞3a﹣2；

∴a＜1；

②C≠∅时，则；

解得；

综上，实数a的取值范围是．

19．（12分）已知函数f（x）＝x+ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．

（1）求f（x）的定义域，并直接写出f（x）的单调性；

（2）用定义证明函数f（x）的单调性．

【解答】解：（1）由题意得1+x＞0且1﹣x＞0，

解得：﹣1＜x＜1，

故函数的定义域是（﹣1，1），

函数f（x）在（﹣1，1）递增；

（2）证明：在定义域（﹣1，1）内任取x1，x2，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+ln，

由于﹣1＜x1＜x2＜1，故0＜1+x1＜1+x2，

故01，同理01，

故0•1，

故ln0，

由于x1﹣x2＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

故函数f（x）为（﹣1，1）上的增函数．

20．（12分）已知二次函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1﹣a．

（1）证明：对于任意的a∈R，g（x）＝f（x）﹣1必有两个不同的零点；

（2）是否存在实数a的值，使得y＝f（x）在区间（﹣1，0）及（0，2）内各有一个零点？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令g（x）＝0，则f（x）＝1，

即x2+（2a﹣1）x﹣a＝0，

∵△＝（2a﹣1）2+4a＝4a2+1＞0对任意的a∈R恒成立，

故x2+（2a﹣1）x﹣a＝0必有2个不相等的实数根，

从而方程f（x）＝1必有2个不相等的实数根，

故对于任意的a∈R，g（x）＝f（x）﹣1必有2个不同的零点；

（2）不存在，理由如下：

由题意，要使y＝f（x）在区间（﹣1，0）以及（0，2）内各有1个零点，

只需即，故，无解，

故不存在实数a的值，使得y＝f（x）在区间（﹣1，0）及（0，2）内各有一个零点．

21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系为：．今将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元．

（1）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数；

（2）如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润．

【解答】解：（1）根据题意，对乙种产品投资x（万元），对甲种产品投资（300﹣x）（万元），

那么总利润y（300﹣x）+30+40+3x+3115，

由，解得75≤x≤225，

所以yx+31154，其定义域为[75，225]，

（2）令t，因为x∈[75，225]，故t∈[5，15]，

则yt2+3t+115（t﹣10）2+130，

所以当t＝10时，即x＝100时，ymax＝130，

答：当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元

22．（12分）已知函数．

（1）判断函数奇偶性；

（2）求函数f（x）的值域；

（3）当x∈（0，2]时，mf（x）+2+2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．

注：函数在（0，a]上单调递减，在上单调递增．

【解答】解：函数．

其定义域为R；

f（﹣x）

＝﹣（1）＝﹣f（x），

∴f（x）是奇函数；

（2）由函数f（x）＝y＝1，

可得，

即

∵2x＞0，

∴，

即

解得：﹣1＜y＜1

∴f（x）的值域（﹣1，1）．

（3）当x∈（0，2]时，mf（x）+2+2x≥0恒成立，

即（1）m+2+2x≥0恒成立，

可得（2x﹣1）m+（2+2x）（2x+1）≥0；

∵x∈（0，2]；

∴2x﹣1＞0

则m，即﹣m；

令2x﹣1＝t，（0，3]；

那么yt；当且仅当t时取等号．

∴﹣m；

可得实数m的取值范围[）．

2018-2019学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷