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总第２９７期　
计算机与数字工程　
Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　
Ｖ０１．４２　Ｎｏ．７　
１２１９　
２０１４年第７期　
基于关键节点控制的网络控制方法　
张元天
叶锡庆
北京
张明安　
１０００３６）　
（海军装备研究院
摘要传统的网络控制理论在研究网络规模较大，链路权重巨大的网络时计算量过于庞大，对有向网络的研究也是　
难点之一。文章通过研究结构上可控制的理论，提出基于关键节点控制整个有向网络的方法。找出具有某种特性的关键节　
点集，用数学方法证明了控制该关键节点集等价于控制了整个网络。该方法较大程度地减少了计算量。实验结果证明了该　方法的有效性，具有一定的实践意义。　
关键词
网络控制；结构Ｅ可控制；驱动节点；ｃａｃｔｕｓ网络　
中图分类号
ＴＰ３９３　
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ１６７２—９７２２．２０１４．０７．０２６　
Ａ　Ｎｅｗ　Ｎｅｔｗｏｒｋ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｄｒｉｖｅ　Ｎｏｄｅｓ　
ＺＨＡＮＧ　Ｙｕａｎｔｉａｎ　ＹＥ　Ｘｉｑｉｎｇ　ＺＨＡＮＧ　Ｍｉｎｇ’ａｎ　
（Ｎａｖａｌ　Ａｃａｄｅｍｙ　ｏｆ　Ａｒｍａｍｅｎｔ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００３６）　
Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｉＳ　ｔｈｅ　ｈｕｇｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｗｈｅｎ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｔｈｅｒｏｙ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｗｈｏｓｅ　ｓｉｚｅ　ａｎｄ　ｌｉｎｋ　ｗｅｉｇｈｔ　ａｒｅ　ｌａｒｇｅ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ａｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ，ｗｈｉｃｈ　ｌｅｔ　ｔｈｅ　
ｗｈｏｌｅ　ｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｂｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｄｒｉｖｅ　ｎｏｄｅｓ，ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｃｏｎｔｒｏＩ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ｄｒｉｖｅ　ｎｏｄｅｓ　ａｒｅ　ｆｏｕｎｄ　ｏｕｔ　ｗｈｉｃｈ　ｈａｖｅ　ｓｏｍｅ　ｃｏｍｍｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｖｅｒｉｆｙ　ｔｈａｔ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｉＳ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｔｏ　ｃｏｎｔｒｏｌ—　
ｌｉｎｇ　ｔｈｅ　ｗｈｏｌｅ　ｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｏ　ａ　ｇｒｅａｔ　ｅｘｔｅｎｔ，ｔｈｉｓ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｃａｎ　ｒｅｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｒＬ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ—　ｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐｒａｃｔｉｃｅ　ｓｅｎｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏａｃ　ｈ．　
Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｃｏｎｔｒｏｌ，ｓｔｒｕｃｔｕｒａ１　ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ，ｄｒｉｖｅ　ｎｏｄｅｓ，ｃａｃｔｕｓ　
ＣＩ稿ｓ＾ｈＩｍｂｅｒ　ＴＰ３９３　
１　引言　
问题没有得到解决，例如对于定向的网络和链路权　重很大的网络的控制问题。本文的目标就是提出　
对于大部分自然中的系统和科技上的系统是　一
种通过控制关键节点对定向网络进行控制的方　
否对它有着深刻的理解，最好的证明之一就是能否　
法。　
控制它们。根据控制学的理论，对于一个动态的系　统给予一个相匹配的输人，如果它可以在有限的时　２　网络控制理论与结构上控制　
间内从任意初始状态转变成我们想得到的状态，就　大部分实际的系统都是非线性的。但是对于　称之为控制了这个系统。这个定义符合直觉。通　非线性系统控制方法与线性系统的控制方法有很　
过适当地操作输入的变量可以引导系统变成设想　
大的相似性＿１］。所以本文的分析使用规范的线性　中的状态，就像开车一样，通过控制脚踏板和方向　时不变系统：　
盘可以驱使这辆车以固定的速度向着固定的方向　一
前进。网络控制的理论已经被应用到了许多领域　
Ａｚ（　）＋Ｂ“（ｆ）　（１）　
Ｃ　
比如电子电路、机械制造、通信系统、航天等。尽管　这个线性时不变系统是一个定向的网络，定义　
前人已经做了许多的工作与研究，但是依然有许多　
为Ｇ（Ａ）。在控制学的理论里，ｚ∈ＲＮ被称作状态　
＊
收稿日期：２０１４年１月３日，修回日期：２０１４年２月２１日　
作者简介：张元天，男，硕士研究生，研究方向：系统工程。叶锡庆，男，高级工程师，硕士生导师，研究方向：系统工程。　张明安，男，高级工程师，研究方向：系统工程。　

张元天等：基于关键节点控制的网络控制方法　第４２卷　
向量，Ａ∈Ｒ￣ｘ　是状态矩阵，ＢＥＲＮ×Ｍ是输入矩阵，　
构上相同（即（Ａ，Ｂ）中的非零项在（　，Ｂｏ）也非零，　
∈ＲＭ是输入向量或者说控制向量。考虑状态矩　
阵Ａ＝（以　）Ｎ×Ⅳ，如果　一　之间没有连接，则ａ　一　
０，表示系统中节点ｉ对于节点Ｊ没有影响。如果　
口　ｆ≠０，它的值表示节点ｉ对于节点．　的影响力　度［　。　
式（１）中定义的网络如果可以在有限的时间内　
（Ａ，Ｂ）中的零项在（Ａｏ，Ｂ。）也为零）且ｌ　ＩＡ～Ａ。ｌ　ｌ
＜ｅ，Ｉ　ＩＢ—Ｂ０　ｌｌ＜ｅ。　
事实上，如果满足上述的条件，显然（Ａｏ，Ｂｏ）结　
构上可控制。反过来，假设（Ａｏ，Ｂ。）结构上可控制，　
存在于（Ａｏ，Ｂｏ）结构相同的系统（Ａ１，Ｂ　）。考虑如　下的系统：Ａ（　）一（１一　）Ａ。＋ａＡ１，Ｂ（Ａ）一（１－－ａ）　
　Ｅ［０，１］。　（　）一ｄｅｔ（Ｂ（Ａ）Ａ（　）Ｂ（　），Ａ　从任意初始状态转变成人们想得到的状态，就称之　Ｂｏ＋　Ｂ１，为可控制网络。首先需要定义一个控制度矩阵Ｃ。　
Ｃ一（Ｂ，ＡＢ，Ａ　Ｂ，…，ＡＮ一　Ｂ）　（２）　当且仅当控制度矩阵Ｃ满秩，即ｒａｎｋ（Ｃ）一Ｎ　的时候，网络Ｇ（Ａ）是可控制的。这一结论被称为　Ｋａｌｍａｎ控制条件＿３叫］。它从数学上定义了控制网　络所必须满足的条件。　
在任一网络中运用Ｋａｌｍａｎ控制条件，需要知　道网络中所有链路的权重，即所有ａ　的值。但是　
大部分的实际网络中，并非所有链路的权重都为人　们所知，或者说仅仅知道近似值并且链路的权重会　
随着时间而改变（例如因特网）。即使所有的权重　
都知道，为了计算矩阵Ｃ的秩需要２　次计算。　
对于一些大的网络来说这是一个难以承受的计算　量。为此引入了“结构上可控制”的概念Ｅ５３。　
结构上可控制的概念最先由Ｌｉｎ于１９７６年提　出。矩阵Ａ和Ｂ都是由０元素和一些变化的参数　组成。如果通过对Ａ、Ｂ中参数的修改可以让系统　（Ａ，Ｂ）由不可控制变成可控制（即ｒａｎｋ（Ｃ）一Ｎ），　
就称系统（Ａ，Ｂ）是结构上可控制Ｅ。ｑ］。简单说，一　个结构上可控制的系统或者是已经是可控制系统，　
或者是对于矩阵的参数进行微调即可变为可控制　
系统。而且对于大部分的数值，系统（Ａ，Ｂ）都是可　
控制的，仅仅少数的情况下其为不可控制的。如果　
Ａ、Ｂ中的非零参数任意改变，系统依然可控制，那　么称该系统为绝对可控制系统。结构上可控制的　概念可以摆脱系统链路权重的束缚，大大减少了计　算量。　
对于结构上可控制的理论可以从数学上给出　定义。用（Ａ，Ｂ）表示一个系统。如果系统（　，Ｂ。）　不可控制，那么对于Ｖｓ＞０，存在一个完全控制的　
系统（Ａ，Ｂ）满足：Ｉ【Ａ—Ａ。ＩＩ＜￡且ｌ　ｌＢ—Ｂ０　ｌＩ＜￡。　在这里，ＩＩ・ｌｌ定义如下：口　和ｂ“是矩阵Ａ与Ｂ中　
的元素，ＩＩ　Ａ　产　一，　＝ｍａｘｌａ　Ｉ，Ｉ１　Ｂ　，…，　一　
ｍａｘｆ　ｂ　１。而结构上可控制的概念可以用如下方　
式表示。　
定义１：（Ａｏ，Ｂｏ）结构上可控制当且仅当Ｖ￡＞　
０，存在一个完全控制的系统（Ａ，Ｂ）与（Ａｏ，Ｂｏ）在结　
（　）一　Ｂ（　））为　多项式，且该多项式并不全为ｏ。　给出Ｖｓ＞Ｏ，一定可以找出　。Ｅ　Ｅｏ，１］，ｌ　Ｊ　Ａ—Ａ。ｌ　ｌ
＜￡，ｌＩ　Ｂ—Ｂ。ｌＩ＜￡，　∈［０，　。］。进一步可以找出　
１∈［Ｏ，Ａｏ］，　（　）≠Ｏ。那么（Ａ（　１），ｂ（　））是绝对　
可控制的，必要性得证。　
３结构控制的分析　
一
个系统（Ａ，Ｂ），可以抽象成为一个图Ｇ（Ａ，　
Ｂ）一（Ｖ，Ｅ）。其中Ｖ—ＶＡ　ＵＶ　表示顶点集合，Ｅ—　Ｕ　ＥＢ表示边的集合。在这里，Ｖａ一｛３７　一，ｚ　｝　：一｛７３　一，７）Ｎ）是所有状态节点的集合，对应网络　中的Ｎ个节点。ＶＢ一｛优１，…，乱Ｍ｝　
｛７０Ｎ＋１，…，　
７３Ｎ＋Ｍ）是输入顶点集，对应Ｍ个输入。ＥＡ一｛（ｘｊ，　３７．　）ｌａ　≠０｝是所有状态节点之间边的集合，也就是　网络中的链路。Ｅ　＝＝＝｛（　，　。）Ｊｂ　≠０）是输入节点　与状态节点之间的连接。需要注意的是，这里的输　入节点是虚拟的节点，并非系统中的实际节点。下　图直观表示了该系统。　
图１无输入的系统　
图２有输入的系统　
分析结构控制理论之前，首先引入几个定义。　
定义２：ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｉｌｉｔｙ。ｚ　是图中的一个普通　
状态节点，如果没有一条有向路径从输入节点到达　
，
就称该点为ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｉｌｉｔｙ。节点ｚ　称为ｉｎａｃ—　ｃｅｓｓｉｂｌｅ节点。　
定义３：ｄｉｌａｔｉｏｎ。在　的一个子集５。定义Ｔ　
（Ｓ）如下：Ｔ（Ｓ）一｛　（　一　）Ｅ（Ｇ），　Ｓ）。即Ｔ　（Ｓ）是所有拥有指向Ｓ中节点链路的所有点的集　
合。１ＳＩ和１Ｔ（Ｓ）Ｉ表示这两个点集中节点的数目。　如果｝Ｔ（Ｓ）Ｉ＜Ｉ　Ｓ　ｌ，则称点集ｓ为一个ｄｉｌａｔｉｏｎ。　
假设系统（Ａ，Ｂ）矩阵如下所示：　

２０１４年第７期　
Ｆｏ　１／２１　Ａ—ｌ　０　ａ２２　
ＬＯ　ａ２３　
计算机与数字工程　１２２１　
Ａ一　Ｂ）＜　，它不是一个结构上可控制的系统。显　
然，形式如同式（３）的系统中是包含有ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ　
该系统的图如图３所示。　这就是一个典型的ｄｉｌａｔｉｏｎ。　
定义４：ｓｔｅｍ。一个ｓｔｅｍ　
ｔ　
节点的。进一步，需要证明逆命题也是正确的，即　
“如果一个图Ｇ（Ａ，Ｂ）中存在至少一个ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ　
节点，（Ａ，Ｂ）一定是上述的形式。事实上，图Ｇ（Ａ，　
Ｂ）中可以假设　
…
一，　为ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ节点，　＋１，　
Ｂ　
表示源自输入节点的一条不成　
，　
为ａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ节点。那么在矩阵（ＡＢ）中，Ｃ　（　
图３　ｄｉｌ一　一ａｔ　ｉｏｎ示例　环的路径。ｓｔｅｍ的最初节点　
称之为根节点。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ｕ　ＬＬ＿＿＿－●●＿＿＿＿＿＿Ｊ＿＿＿＿＿＿●ｌ
北　　
鸲　
　
定义５：ｂｕｄ。一个ｂｕｄ是一个节点连成的环　再加一条指向该环的边。如图８，（ｚｚ—ｚｅ）和包含　
ｚ。的环一起构成了一个ｂｕｄ。指向环的那条边称　之为高级边。　
定义６：ｃａｃｔｕｓ。ｃａｃｔｕｓ是如下定义的：首先一　个ｓｔｅｍ是一个ｃａｃｔｕｓ。给出一个ｓｔｅｍ　Ｓｏ和一些　ｂｕｄｓ　Ｂ１，Ｂ２，…，　。对于任意一个Ｂ　（１　ｉ　
ｈ），如果Ｂ　最高边的头结点不是Ｓ。的根节点而且　该节点是Ｂ　与Ｓ。和其他ｂｕｄｓ的唯一交点，就可以　称Ｓ０　ＵＢ１　ＵＢ２…Ｕ　Ｂ＾是一个ｃａｃｔｕｓ。ｃａｃｔｕｓ是既　
没有ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ又没有ｄｉｌａｔｉｏｎ的最小结构。去　
掉一个ｃａｃｔｕｓ中的任意・条边都将导致ｉｎａｃｃｅｓｓｉ—　ｂｌｅ或者ｄｉｌａｔｉｏｎ的出现。具体情形如图４所示。　
图４　ｃａｔｕｓ示例　
介绍了以上定义后，引入结构可控制的定理。　定理１：以下三个命题是等价的：　
１）一个线性系统（Ａ，Ｂ）是结构上可控制的。　２）（ｉ）系统的有向图Ｇ（Ａ，Ｂ）不包含不可到　达的节点（ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ　ｎｏｄｅｓ）。　
（ｉｉ）系统的有向图Ｇ（Ａ，Ｂ）不包含ｄｉｌａｔｉｏｎ。　３）Ｇ（Ａ，Ｂ）是由一个ｃａｃｔｕｓ生成的。　
证明：　
首先证明１）　２）。　考虑下面的例子：　
Ａ一［Ｌ　２　Ａ２１　Ａ２２］＿｝　，Ｂ：［Ｌ　］Ｂ２．Ｊ　ｃ３～，　Ａｌ１∈Ｒ　，Ａ２１∈Ｒ‘　一　
，Ａ２２∈Ｒ‘　一　‘　一　，　
Ｂ２∈　一，ｌ三三三是　ｎ。可以得出，ｒａｎｋ（Ｂ，ＡＢ，…，　
一１，２…，　Ｊ一志＋１，…，　）一定为０，即为式（３）所　示的系统，从而得证。这样就证明了包含ｉｎａｃｃｅｓ—　
ｓｉｂｌｅ节点的系统结构上不可控制。　
再考虑下面的系统（Ａ，Ｂ），７２×　＋１的矩阵　（ＡＢ）如下形式：　
ｃＡＢ　＝＝＝［　㈤　
Ｐ２是一个７ｚ一尼×　＋１矩阵，Ｐ１是一个ｋ×　＋　
１矩阵有不超过忌一１个非零列（Ｐ　的其他列只有　０）。显然，ｒａｎｋ（ＡＢ）＜７２。形式如同式（４）的系统　中是包含有ｄｉｌａｔｉｏｎ的，图３所示即为典型的例子。　需要证明其逆命题也是正确的。事实上，可以假设　Ｓ一｛７３　，　２，…，＂ｏｋ｝，根据定义三，Ｔ（ｓ）不超过ｋ一１　
个点，且这是一１个点在（ＡＢ）中不同列。由丁（ｓ）的　定义，矩阵（ＡＢ）中的其他列　（不同于上述的是一１　列），必然满足Ｃ　一０（ｉ一１，２，…，　），即为式（４）的　形式。于是包含有ｄｉｌａｔｉｏｎ的系统必然可以写成　
式（４）的形式，该系统结构上不可控制。　
综合以上两条，１）　２）得证。　
其次证明２）　３）。由ｃａｃｔｕｓ的定义知，它是　既没有ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ又没有ｄｉｌａｔｉｏｎ的最小结构。　
去掉一个ｃａｃｔｕｓ中的任意一条边都将导致ｉｎａｃ—　ｃｅｓｓｉｂｌｅ或者ｄｉｌａｔｉｏｎ的出现。如果Ｇ（Ａ，Ｂ）不含　
ｉｎａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ和ｄｉｌａｔｉｏｎ，它必然有ｃａｃｔｕｓ生成，２）　
３）得证。　
最后证明３）　１）。　
引理：假设图Ｇ是结构上可控制的，Ｂ是一个　ｂｕｄ拥有一条初始边。另图Ｂ的根节点与图Ｇ相　
交，则ＧＵＢ也是结构上可控制的。　
证明略ｌ＿５ｊ。　
根据该引理和ｃａｃｔｕｓ的定义，即可得出３）　
１）。　
综合以上，１）　２），２）　３），３）　１），１），２），３）　是等价的，证毕。　
通过这个定理知道，要控制整个网络，需要移　
除所有的ｄｉｌａｔｉｏｎ并且确保每个节点都是可到达　
的。换一种直观的说法，每个节点都必须有自己独　有的上级。如果这个节点没有上级，那么它是不可　

１２２２　张元天等：基于关键节点控制的网络控制方法　第４２卷　
到达的，需要单独控制。如果这个节点和其他的节　点公用一个上级，那么就会出现一个ｄｉｌａｔｉｏｎ，网络　无法完整控制。　
４驱动节点　
假设网络中有Ｍ个输人节点。与输入节点相　连的状态节点称之为控制节点，例如图２中的３２　，　
ｚｚ，３２。，　，ｚｓ都是控制节点。假设所有控制节点的　数量是Ｍ　。由于一个输入节点可能连接多个状态　
节点，所以　Ｍ。在所有的控制节点中，选取一　
个最大的集合。集合中的所有点都不与其他点有　共同的输入节点。把这个集合中的点称之为驱动　节点。显然，驱动节点的数量为Ｍ。如果要控制整　个网络，需要对哪些点施加输入是需要研究的核心　
问题。同时需要输入的数量最少。这一问题等价　于找出数量最小的驱动节点。　
定义一类集合Ｐ。集合Ｐ是Ｅ（Ａ）的一个子　集，该子集中的元素满足如下特性：Ｐ中没有两条　
边是公用同一个头节点或者同一个尾节点的。　Ｐ一是这一类集合中元素数量最多的一个集合。　ＰＭＡＸ中的边所指向的节点称为特征节点，其余为非　特征节点＿＿８］。特征节点的数量为ｌ　ＰＭＡＸ『，非特征节　
点数量为Ｎ—ｊＰ　１。　
定理２：控制网络所需的最少的驱动节点即为　
非特征节点和网络中独立环（独立节点也将其看做　
一
个环）的数量之和。　
证明：首先对所有的非特征节点施加一个输　
入。集合ＰＭＡＸ中的边构成了Ｋ个相互独立的直线　或者环。首先考虑直线，可以发现这条直线的根节　点必然是一个非特征节点，如果控制了其根节点，　也就控制了这一整条路径，这是一个ｓｔｅｍ。再考　虑环。这里分成两种情况，第一种情况：有一条边ｅ　
不属于集合ＰＡ　，连接了该环与某一个ｓｔｅｍ，那么　边ｅ与该环构成了一个ｂｕｄ。第二种情况：该环是　
一
个独立环。那么从Ｇ（Ａ，Ｂ）中的虚拟的输入节　
点任选一个连接到该环，也构成了一个ｂｕｄ。经过　上述处理，整个子图变成了一个ｃａｃｔｕｓ，也即图Ｇ　
（Ａ，Ｂ）是由一个ｃａｃｔｕｓ生成的。根据定理一，该系　统是结构上可控制的。假设系统中一共有志个独　立环，从每个独立环中任选一个节点，那么驱动节　
点由这忌个节点和所有的非特征节点共同组成。　
证毕。　
对该方法进行分析，至多需要０（　／。Ｌ）步就可　
以找到所有的驱动节点　。这样对于任意有向的网　络，可以通过此方法有效地决定它的驱动节点。　
５　结语　
本文研究了大型复杂网络的控制问题，在结构　控制理论的基础上提出了利用关键节点对网络进　行控制的方法。定义了驱动节点，证明了其对网络　控制的重要性。本文的结论对于复杂大型网络的　控制有一定的帮助。今后对驱动节点的性质可以　
进行更多的研究。　
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ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉａｇｅｎｔ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｔｏｐｏｌｏ—　ｇｉｅｓ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．Ｓｙｓｔ．Ｍａｎ　Ｃｙｂｅｒｎ．ｔ３４０，２０１０：８８１—８９１．　
［９］Ｈｏｐｃｒｏｆｔ，Ｊ．Ｅ．，Ｋａｒｐ，Ｒ　ＩＶＬ　Ａｎ　ｎｓ　。ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　
ｍａｘｉｍｕｍ　ｍａｔｃｈｉｎｇｓ　ｉｎ　ｂｉｐａｒｔｉｔｅ　ｇｒａｐｈｓ．ＳＩＡＭ　Ｊ．　Ｃｏｍｐｕｔ．２，１９７３：２２５—２３１．　
ＥｌＯ］Ｙａｎｇ－Ｙｕ　Ｌｉｕ．Ｊｅａｎ－Ｊａｃｑｕｅｓ　Ｓｌｏｔｉｎｅ＆Ａｌｂｅｒｔ－Ｌａｓｚｌｏ　
Ｂａｒａｂａｓｉ．Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｎａ—　ｔｕｒｅ　Ｖ０Ｌ　４７３。２０１１．　

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