2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知集合，4，，则

A. 1，3， B. 2，4， C. 3， D.

2. 已知是的共轭复数，则

A. B. C. D. 1

3. 已知向量，，则

A. B. C. D.

4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为

A. ， B. ，且

C. ， D. ，

5. 设函数为常数，则“”是“为偶函数”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一．书中记载了借助“外圆内方”的钱币如图做统计概率得到圆周率的近似值的方法．现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的近似值为

A. B. C. D.

7. 函数在的图象大致为

A. B.

C. D.

8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则的值为

A. B. C. 0 D.

9. 函数的部分图象如图所示，若，且，则

A. 1 B. C. D.

10. 某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是

A. 2 B. 4 C. D.

11. 关于x的方程，若时方程有解，则a的取值范围

A. B. C. D.

12. 已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是

A. 3 B. 4 C. D.

13. 已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点，是一个定点，则的最小值为   

A. 3 B. 4 C. 5 D.

14. 设，是定义在R上的两个周期函数，周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，，其中若在区间上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

15. 某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是______名．

16. 如图，圆柱中，两半径OA，等于1，且，异面直线AB与所成角的正切值为则该圆柱的体积为______

17. 文科已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心，以为半径的圆交双曲线C的右支于P，Q两点为坐标原点，的一个内角为，则双曲线C的离心率的平方为______．

18. 是P为双曲线上的点，，分别为C的左、右焦点，且，与y轴交于Q点，O为坐标原点，若四边形有内切圆，则C的离心率为______．

三、解答题（本大题共11小题，共123.0分）

19. 在中，如果sinA：sinB：：3：4，那么______．

20. 已知数列满足：，．

设，证明：数列是等比数列；

设数列的前n项和为，求．

21. 哈工大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩满分150分，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；



根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；

根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度不要求计算出具体值，给出结论即可；

现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．

22. 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．

Ⅰ若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

Ⅱ若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为元求随机变量X的分布列和数学期望．

23. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点．

Ⅰ证明：平面；

Ⅱ文科求点C到平面的距离．

理科求二面角的正弦值．

24. 文科已知椭圆C：的左、右焦点为，，点P在椭圆C上，且面积的最大值为，周长为6．

Ⅰ求椭圆C的方程，并求椭圆C的离心率；

Ⅱ已知直线l：与椭圆C交于不同的两点A，B，若在x轴上存在点，使得M与AB中点的连线与直线l垂直，求实数m的取值范围．

25. 理科已知椭圆M：的两个焦点为，，椭圆上一动点P到，距离之和为4，当P到x轴上的射影恰为时，，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，经过点的直线l与椭圆M交于C，D两点．

Ⅰ求椭圆M的方程；

Ⅱ记与的面积分别为，，求的最大值．

26. 设函数．

讨论的单调性

若有最大值，求的最小值．

27. 已知函数．

讨论的单调性；

Ⅱ若方程存在两个不同的实数根，，证明：．

28. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，xOy轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

求曲线C的极坐标方程；

设A，B为曲线C上不同两点均不与O重合，且满足，求的最大面积．

29. 已知函数．

求不等式的解集；

若，且，证明：．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：2，3，4，，4，，

．

故选：D．

可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.答案：D

解析：【分析】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

先利用复数的运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出，从而确定a，b的值，求出．

【解答】

解：，

，

，，

，

故选：D．

3.答案：D

解析：【分析】

本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量平行、垂直的判定方法．

根据题意，由向量的坐标计算公式依次分析选项，验证选项中结论是否成立，即可得答案．



【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A、向量，，有，则不成立，A错误；

对于B、向量，，，则不成立，B错误；

对于C、向量，，，有，则不成立，C错误；

对于D、向量，，，，则成立，D正确；

故选：D．

4.答案：B

解析：【分析】

本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．

利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．

【解答】

解：对于A，令，则，为偶函数，

而在上单调递减，在上单调递增，

故在上单调递减，在上单调递增，故排除A；

对于B，令，且，同理可证为偶函数，当时，，为增函数，故B满足题意；

对于C，令，，为奇函数，故可排除C；

而D，为非奇非偶函数，可排除D；

故选B．

5.答案：D

解析：解：若，则函数，

，，

函数图象不关于y轴对称，函数表示偶函数；

若是偶函数，则恒成立，

即恒成立，则对任意实数x恒成立．

则．

“”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

由不能得到为偶函数，反之，由为偶函数不能得到可知“”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．

本题考查函数奇偶性的性质及其应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．

6.答案：A

解析：解：圆的半径为2cm，面积为；

正方形边长为1cm，面积为．

在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是

，

则．

故选：A．

计算圆的面积和正方形的面积，求出对应面积比得P，则可求．

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．

7.答案：D

解析：解：，函数为奇函数，排除选项A和B，

而当时，，可得，

故选：D．

先利用函数的奇偶性的定义得知，所以函数为奇函数，可排除选项A和B，对比选项C和D，发现当时，，可得所求图象．

本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．

8.答案：A

解析：【分析】

此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．

根据A与B的坐标，利用任意角的三角函数定义求出，，，的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】

解：点A，B的坐标为和，

，，，，

则．

故选A．

9.答案：D

解析：解：由图象可得，，解得，

，

代入点可得

，，

又，，

，

，即图中点的坐标为，

又，且，

，

，

故选：D．

由图象可得，由周期公式可得，代入点可得值，进而可得，再由题意可得，代入计算可得．

本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．

10.答案：B

解析：解：作出截面图如图，



则，

由截面圆的周长为，得，则．

球的半径是．

故选：B．

由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径．

本题考查多面体与球的关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

11.答案：B

解析：【分析】

本题考查三角函数的最值，考查分离变量法的应用，突出考查正弦函数的单调性与配方法，属于中档题．；当时，利用正弦函数的单调性可求得，从而可得a的取值范围．

【解答】

解：，





；

，

，

，

，

，即．

的取值范围为．

故选B．

12.答案：A

解析：解：作出对勾函数的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为，

圆心坐标，半径，

则由图象知当A，B，C三点共线时，最小，此时最小值为，

即的最小值是3，

故选：A．

作出对勾函数的图象，利用圆的性质，判断当A，B，C三点共线时，最小，然后进行求解即可．

本题主要考查两点距离最值的计算，结合对勾函数的图象，结合圆的性质是解决本题的关键．难度中等．

13.答案：A

解析：解：如图，



由抛物线方程，可得抛物线的焦点，

又，

与F重合．

过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，

则的最小值等于．

故选：A．

由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，

交圆于Q交抛物线于P，则的最小值等于．

本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．

14.答案：C

解析：解：作出函数与的图象如图，由图可知，函数与仅有2个实数根；

要使关于x的方程有8个不同的实数根，

则，与，的图象有2个不同交点，

由到直线的距离为1，得，解得，

两点，连线的斜率，

．

即k的取值范围为

故选：C．

由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．

本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15.答案：7

解析：解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：



对于需要求该校招聘的教师人数最多，

令则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值，

截距最大时的直线为过时使得目标函数取得最大值为：．

故答案为：7．

由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令，则题意求解在可行域内使得z取得最大．

此题考查了线性规划的应用，还考查了学生的数形结合的求解问题的思想．

16.答案：

解析：解：过B作底面O，交底面圆O于点C，连结OC，

圆柱中，两半径OA，等于1，且，

异面直线AB与所成角的正切值为，

，，，

是异面直线AB与所成角，

，，

该圆柱的体积：

．

故答案为：．

过B作底面O，交底面圆O于点C，连结OC，则，，，由是异面直线AB与所成角，得到，从而，由此能求出该圆柱的体积．

本题考查圆柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

17.答案：

解析：解：如图所示，且的一个内角为，

则为等边三角形，，

设圆与x轴交于G，连接PF，PG，则，

由，可得，

可得，

由，可得，，则，

可得，故，

又P为双曲线上一点，，由，，且，

可得，

解得．

故答案为：．

由双曲线的对称性及的一个内角为，可得为等边三角形，进而求点P的坐标，再由P在双曲线上，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求得答案．

本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．

18.答案：2

解析：【分析】

本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．

求出圆的圆心、半径和直线的方程，根据切线的性质列方程求出a，b，c的关系，得出离心率．

【解答】

解：，，可设P点坐标为

则 ，

，

点坐标为，

直线的方程为，即，

由可知

若四边形有内切圆，

则内切圆的圆心为，半径为，

到直线的距离，

化简得：，即，

又，



或舍去

故答案为：2．

19.答案：

解析：解：在中，sinA：sinB：：3：4，

利用正弦定理化简得：a：b：：3：4，

设，，，

．

故答案为：．

已知等式利用正弦定理化简得到三边之比，表示出三边长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入即可求出cosC的值．

此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

20.答案：解：数列满足：，．

由，那么，

；

即公比，，

数列是首项为2，公比为2的等比数列；

由可得，



那么数列的通项公式为：

数列的前n项和为

．

解析：由，那么，利用定义证明即可；

根据求解数列的通项，即可求解．

本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键．

21.答案：解：甲的成绩的中位数是，乙的成绩的中位数是．

乙同学的成绩的频率分布直方图如下图：



从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，

乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．  

甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，

现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：

共10种，

其中2个成绩分属不同同学的情况有：

共6种，

因此事件A发生的概率．

解析：本题考查概率的求法，考查茎叶图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，根据茎叶图中数据计算频率即可补全频率分布直方图．

从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．

甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e，现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，利用列举法能求出事件A发生的概率．

22.答案：解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．

则．

Ⅰ若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．



Ⅱ由题意得，该顾客可转动转盘2次．

随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．

；

；

；

；

．

所以，随机变量X的分布列为：

其数学期望．

解析：Ⅰ返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．

Ⅱ若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．

求离散型随机变量期望的步骤：确定离散型随机变量的取值．写出分布列，并检查分布列的正确与否．求出期望．

23.答案：解：Ⅰ证明：连结，ME，

，E分别是，BC的中点，，且，

为的中点，，

由题设知，，，

四边形MNDE为平行四边形，，

平面，平面．

Ⅱ文科解：过C作的垂线，垂足为H，

由已知可得，，平面，

，平面，

的长为C到平面的距离，

由已知得，，，，

点C到平面的距离为．

Ⅱ理科解：以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

0，，，0，，0，，

，，，

设二面角的法向量y，，

则，取，得1，，

设平面的法向量b，，

则，取，得0，，

，

二面角的正弦值为．

解析：Ⅰ连结，ME，推导出四边形MNDE为平行四边形，，由此能证明平面．

Ⅱ文科过C作的垂线，垂足为H，推导出平面，从而，平面，CH的长为C到平面的距离，由此能求出点C到平面的距离．

Ⅱ理科以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

24.答案：解：Ⅰ由面积的最大值为，周长为可得，解得：，

所以椭圆的方程为：；

离心率；

Ⅱ设，，

联立直线l与椭圆的方程：，整理可得，，，

所以AB的中点坐标为：，

所以线段AB的中垂线的方程为：，令，可得，

所以由题意可得，

因为，所以，

因为，所以，所以，

所以实数m的取值范围．

解析：Ⅰ由面积的最大值为，周长为6及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程，及离心率的值；

Ⅱ设AB的坐标，将直线l的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB的中点坐标，进而求出线段AB的中垂线的方程，令，求出x轴的点M的横坐标的表达式，由均值不等式可得m的取值范围．

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题．，菁优

25.答案：解：Ⅰ由椭圆的定义可得：，即，

由题意可得，所以，

由题意可得，，，

解得：或3，由，可得，

所以椭圆的M的方程为：；

Ⅱ由Ⅰ可得，，左焦点，

由题意可得直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为：，设，，

直线与椭圆联立，整理可得：，，，

，

当时，

当，所以，当且仅当时取等号，即取等号；

所以的最大值为．

解析：Ⅰ由P到，距离之和为4，可得2a的值，再由P到x轴上的射影恰为时，，所以，即，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；

Ⅱ设过的直线，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出面积之差的表达式，由均值不等式求出面积之差的最大值．

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．

26.答案：解：函数的定义域为，，

当时，，在上单调递增；

当时，解得，

得，

在上单调递增，在上单调递减．

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

由知，当时，在上单调递增，在上单调递减．



，

，，

令，，则，

在上单调递减，在上单调递增，

，的最小值为．

解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

函数的定义域为，，对m分类讨论即可得出．

由利用单调性即可得出．

27.答案：解：Ⅰ，．

当时，

由，解得，即当时，，单调递增，

由，解得，即当时，，单调递减；

当时，，即在区间内单调递增；

当时，，故，即在区间内单调递增．

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为．

Ⅱ方程存在两个不同的实数根，和Ⅰ知，

且在递增，在递减，

不妨设，要证，即证，

当时，显然成立，

当时，此时，

设，，

则，

在上递增，且，

，即，

又，，

，，

又在递减，

，

即即．

解析：Ⅰ求出函数的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；

Ⅱ问题转化为证，当时，显然成立，当时，此时，设，，根据函数的单调性证明即可．

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查不等式的证明以及转化思想，是一道综合题．

28.答案：解：由，消去参数，

得曲线C的普通方程为，即，

设曲线C上任意点的极坐标为，则，

故曲线C的极坐标方程为．

设，则，故，

点A，B在曲线C上，则，，

故

，．

故时，取到最大面积，为．

解析：把曲线C中的参数消去，可得曲线的直角坐标方程，结合直角坐标与极坐标的互化公式可得曲线C的极坐标方程；

由点A，B在曲线C上，分别求得A，B的极径，代入三角形面积公式，然后利用三角函数求最值．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．

29.答案：解：不等式等价于或或，

解得或或，

所以不等式的解集为；

证明：由知函数的最大值是，即恒成立，

因为，当且仅当时等号成立，

，即得证．

解析：运用零点分段讨论法求解；

易知函数的最大值为1，再利用绝对值不等式的性质即可得证．

本题考查绝对值不等式的解法及性质的运用，考查推理论证能力及运算求解能力，属于基础题．

2020年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）（含答案解析）