平面与圆锥面的截线

一、直观感受：

观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？

改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：

二、分类探究：

从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：

将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：


归纳提升：

定理  在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：

利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.

如图，利用切线长相等，容易证明 PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.

下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：

换个角度看图：

容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.

四、知识运用

用图霸制作三维直观图：

解答参看下图：

五、图形制作

三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：

1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C关于O的对称点B’、C'.

2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.

3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.

4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.

5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.

6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.
7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.

8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.

9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.

10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.

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圆锥曲线的原理最详细图解（平面与圆锥面的截线）