广东历年高考数学真题

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷数学(理科
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设复数z满足(1iz2，其中i为虚数单位，则z=(A．1iB．1iC．22iD．22i
2．已知集合A(x,y|x,y为实数,且x2y21，B(x,y|x,y为实数,且xy1，则AIB的元素个数为(
A．4B．3C．2D．1

rrrrrrrrrr
(a2b=(3．若向量a，b，c，满足a//b且ab，则cg
A．4B．3C．2D．0
4．设函数f(x和g(x分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(A．f(xg(x是偶函数B．f(xg(x是奇函数C．f(xg(x是偶函数D．f(xg(x是奇函数
0x2

5．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y2给定，若M(x,y为D上的动点，点A的坐

x2y
标为
2，1，则zOM•OA的最大值为(
A．42B．32C．4D．3
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(A．
1323B．C．D．2534
7．如图1～3，某几何体的正视图(主视图是平行四边形，侧视图(左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(A．63B．93C．123D．1838．设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的，若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUVZ，且a,b,cT，有ab,cT；x,y,zV，有xyzV，则下列结论恒成立的是(

A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法是封闭的
(特例法：例1：若T自然数集，V负整数集，满足TUVZ，且a,b,cT，有ab,cT；x,y,zV，有xyzV，此时T封闭，排除D；例2：若T1,0,1，满足TUVZ，V不封闭，VL,3,2,2,3,L，且a,b,cT，有ab,cT；x,y,zV，有xyzV，此时T，V都封闭，排除B,C。故选A二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。(一必做题(9～13题
9．不等式x1x30的解集是_______________________。
24
10．xx的展开式中，x的系数是____________________________(用数字作答。
x
11．等差数列an前9项的和等于前4项和。若a11，aka40，则k=________。
12．函数f(xx3x1在x=处取得极小值。
13．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm。因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm。(二选做题(14-15小题，考生只能从中选做一题
3
2
7
52x5cosxt
0和14．(坐标系与参数方程选做题已知两曲线参数方程分别为4(tR，
ysinyt
它们的交点坐标为。
15．(几何证明选讲选做题如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB=。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．(12分已知函数f(x2sin
1
x，xR。
63
(1求f
1065
，f32，求cos的值。的值；(2设,0,，f3
213524


17．(13分为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x,y的含量(单位：毫克。下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
116975
2
3
4
5
x
17816617518080
77
70
81
y
(1已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2当产品中微量元素x,y满足x175且y75时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值(即数学期望。
18．(13分如下图，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB60，
o
PAPD2，PB2，E,F分别是BC,PC的中点。

(1证明：AD⊥平面DEF；(2求二面角PADB的余弦值。
19．(14分设圆C与两圆x5

2
y24，x5y24中的一个内切，另一个外切。

2
(1求圆C的圆心轨迹L的方程；(2已知点M
20．(本小题满分14分设b0，数列{an}满足a1b，an
3545
F
5，5，

5,0，且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时点P的坐标。

nban1
(n2。
an12n2
bn1
(1求数列{an}的通项公式；(2证明：对于一切正整数n，2ann11。
2



21．(本小题满分14分在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y是方程xpxq0的两根，记(p,q=maxx1,x2。
2
122
实数p、q满足p4q0，x1,x2x。4

12
p0(p00作L的切线交y轴于点B。证明：对线段AB上的任一点Q(p,q，4|p|
有(p,q0；
2
(1过点A(p0,
(2设M(a,b是定点，其中a,b满足a24b0,a0。过M(a,b作L的两条切线l1,l2，切点分别为
121
p1，E(p2,p22，l1,l2与y轴分别交于F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X，44
|p|
证明：M(a,bX|p1||p2|(a,b1；
2
152
(3设D{(x,y|yx1,y(x1}，当点(p,q取遍D时，求(p,q的最小值(记为min和最大值
44E(p1,
(记为max。
2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题：
题号答案
1B
2C
3D
4A
5C
6D
7B
8A
二、填空题：9．[1,；10．84；11．10；12．2；13．185；14．(1,25；15．
5
35；

三、解答题：16．解：(1f5
4(2
215
2sin2sin22。
42346
110，∴sin5，f32=2sin132=2sin+2cos6，f32sin32sin136253226133
223
，∵,0,，∴cos1sin21512，sin1cos2134，
55132513
cos
∴cos=coscossinsin1235416。
13513565
17．解：(1乙厂生产的产品数量=985=35(件。(2由上表知在抽取的5件乙厂的产品中，编号为2和5是优等品，所以优等
14品所占的比例为2，所以可估计乙厂生产的优等品的数量=352=14(件。
55
2
(3的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(0C33，
C5210

P
0
310
1
35
2
110
C21∴的分布列为C1C13
P(1223，P(22
C510C55
2
的均值为E0
3314
12。105105
18．(1证明：如下图，设M为AD的中点，连结PM,BM,BD，∵PAPD，∴ADPM，∵DAB60o，ABAD∴ABD是等边三角形，∴ADBM，∵PM、BM平面PBM，PMIBM=M，
∴AD平面PBM。∵E分别是BC的中点，∴MD//BE，且MD=BE，∴BEDM是平行四边形，
∴BM//DE，∵BM平面DEF，DE平面DEF，∴BM//平面DEF。∵E,F分别是BC,PC的中点，∴EF是的PBC中位线，EF//PB，∵PB平面DEF，EF平面DEF，∴PB//平面DEF，
∵BM、PB平面PBM，BMIPBB，∴平面PBM//平面DEF，∴
AD⊥平面DEF
(2由(1知ADPM，ADBM，∴PMB是二面角PADB的平面角。在PMB中，
PM=PAAM
22
2
2
3，7，11
BM=AB2AM212
2222
22
73
4
PMBMPB21。∴44cosPMB
2PMBM773
2
22
2
2
2
19．解：(1圆x5

2
y24的圆心为F1(5,0，半径为2，圆x5

2
y24的圆心为F2(5,0，
半径为2。设圆C的半径为r，若圆C与圆F1内切，与圆F2外切，则有CF1r2，CF2r2，
∴CF2CF14；若圆C与圆F1外切，与圆F2内切，则有CF，CF2r2，∴CF1CF24；综上可得CF2CF14，1r+2
22
xy∵425F1F2，∴圆C的圆心轨迹L是以F1、F2为焦点，4为实轴长的双曲线，设其方程为则a=2，1(a0,b0，a2b2
c=5，∴b
2
c2a21，∴圆C的圆心轨迹L的方程为xy2=1。
4
2

(2∵
3545，当且仅当点P在L上，且在FM或MF的延长线上时，取“=”。∵直线FMMPFPMF5552
22
的斜率为k
FM
4552，∴直线FM的方程为y2(x5，35
55
14565y2(x565
xxx由，解得或，P在且在FM或MF的延长线上，∴取，1555x2
2
y=12525y254yy1555
即
MPFP
的最大值为2，此时点P的坐标为65,25。

55
20．(1解：∵a1b0，n2，∴an
nban1
（2n2annban1，0，an12n20，∴an1an
an12n2
1
12(n1nn
bg，令cn，则12cn1bcn。当b=2时，12cn12cn，cncn1，∵c11=11，此时
2an1anana1b2
cn是以1
2
为首项，1为公差的等差数列，∴c=1(n11n，即nn，∴an=2。
n
222an22
当b2且b0时，由12cn1bcn，得12cn1+xbcnx，2(c+x1b(cx(*，令x1x，
n1n
2b2b2，解得xb，代入(*式得c12(c+1，∵c11111
nn11
2bb2b2b2ba12bb2bb(2b
此时cn

nnn1n1是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1212，得c2b，即2
cnn
b2b(2bbnb(2b2bb(2bb2bb
2,(b2n2nbn，∴(2bnbn。综上可得(nN*。annnnan(2bnbn2ban(2bb,(b2且b0
n
2bn
n1
(2①当b2时，a221，故b2时，命题成立；
nn1
2
②当b
2时，b2n22n2b2n22n2n1bn，b2n12b22n12b2n22n2n1bn，……，
bn12n1bn12n12b2n22n2n1bn，以上n个式子相加得
b2nb2n12Lbn12n1bn12n1Lb22n122nn2n1bn，
an
n2n1bn(b2[(b2nb2n12Lb22n122nbn2n](b2
2n1(bn2n2n1(bn2n

(b2nb2n12Lb22n122n(b2bn2n(b2
2n1(bn2n
(b2n122n1bn12nbn2n1(b2n1bn12n(bn2n122n1bn1n11。
22n1(bn2n2n1(bn2n
故当b2时，命题成立；综上①②知命题成立。
1121111
21．解：(1kABy'|xp0(x|xp0p0，直线AB的方程为yp02p0(xp0，即yp0xp0，
422224
∴q1pp1p2，方程x2pxq0的判别式p24q(pp02，两根xp|p0p|p0或pp0，∵pp00，
001,224222∴|pp0|||p||p0||，又0|p||p0|，∴|p0||p||p0||p0|，得|pp0|||p||p0|||p0|，∴(p,q|p0|。
222222222(2由a24b0知点M(a,b在抛物线L的下方，

①当a0,b0时，作图可知，若M(a,bX，则p1p20，得|p1||p2|；若|p1||p2|，显然有点M(a,bX；∴
M(a,bX|p1||p2|。
②当a0,b0时，点M(a,b在第四象限，作图可知，若M(a,bX，则p10p2，且|p1||p2|；若|p1||p2|，显然有点M(a,bX；∴M(a,bX|p1||p2|。根据曲线的对称性可知，当a
0时，M(a,bX|p1||p2|。综上所述，M(a,bX|p1||p2|(*；
由(１知点M在直线EF上，方程x2axb0的两根xp1或ap1，
1,2
22同理点M在直线EF上，方程x2axb0的两根x
1,2

pp2或
a2，
22
若(a,b|p1|，则|p1|不比|ap1|、|p2|、|ap2|小，∴|p1||p2|，又|p1||p2|M(a,bX，
22222∴(a,b|p1|M(a,bX；又由(１知，M(a,bX(a,b|p1|；
22∴(a,b|p1|M(a,bX，综合(*式，得证。
2
(3联立
可知0p2，过点(p,q作抛物线L的切线，设切点为(x,1x2，yx1，y1(x125得交点(0,1,(2,1，
00
444
12
x0q
21则4x0，得x02px04q0，解得x0p
x0p2
4
4
p24q，
又q1(p125，即p24q42p，∴x0p42p，设∴x1t2t21(t125，Q|x0|，又x00maxmax
42pt，
2222

5
，∴5；Qqp1，
max
24
∴x0p
p24p4p|p2|2，∴min|x0|min1。
2

广东历年高考数学真题

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