中考数学压轴题分类汇编：图形变换
发布时间：2023-03-25 11:12:34
B 中考数学分类汇：几何综合——图形变换
某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60º，则BM＝CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90º，则BM＝CN；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，则BM＝CN。 任务要求：
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分） (2请你继续完成下列探索：
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）
②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，请问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。 A N A D E N
N M
M A D O
M O
O
C B 图1 C B C 图2 图4
[解] （1）以下答案供参考： （1） 如选命题①
证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3
又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN ∴BM=CN （2）如选命题② 证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3
又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ 