一．常用逻辑用语

1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）

（1）四种命题的关系，

（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）

（a）原命题与其逆否命题同真、同假。（b）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件

（1）定义：若p成立，则q成立，即word/media/image2_1.png时，p是q的充分条件。同时q是p的必要条件。

若p成立，则q成立，且q成立，则p成立 ，即word/media/image3_1.png且word/media/image4_1.png，则p与q互为充要条件。

（2）判断方法：

（i）定义法，

（ii）集合法：设使p成立的条件组成的集合是A，使q成立的条件组成的集合为B，若word/media/image5_1.png 则p是q的充分条件。同时q是p的必要条件。

若A=B，则p与q互为充要条件。

（iii）命题法：假设命题：“若p则q”。当原命题为真时，p是q的充分条件。

当其逆命题也为真时，p与q互为充要条件。

注意：充分条件与充分非必要条件的区别：

用集合法判断看，前者：集合A是集合B的子集；后者：集合A是集合B的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）

（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：

注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

二．圆锥曲线

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：word/media/image6_1.png

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：word/media/image7_1.png.

ii. 中心在原点，焦点在word/media/image8_1.png轴上：word/media/image9_1.png.

②一般方程：word/media/image10_1.png.

③椭圆的标准方程：word/media/image11_1.png的参数方程为word/media/image12_1.png（一象限word/media/image13_1.png应是属于word/media/image14_1.png）.

⑵①顶点：word/media/image15_1.png或word/media/image16_1.png.

②轴：对称轴：x轴，word/media/image8_1.png轴；长轴长word/media/image17_1.png，短轴长word/media/image18_1.png.

③焦点：word/media/image19_1.png或word/media/image20_1.png.

④焦距：word/media/image21_1.png.

⑤准线：word/media/image22_1.png或word/media/image23_1.png.

⑥离心率：word/media/image24.wmf.

⑦焦点半径：

word/media/image25_1.pngi. 设word/media/image26_1.png为椭圆word/media/image27_1.png上的一点，word/media/image28_1.png为左、右焦点，则

word/media/image29_1.pngii.设word/media/image30_1.png为椭圆word/media/image31_1.png上的一点，word/media/image28_1.png为上、下焦点，则

由椭圆第二定义可知：word/media/image32_1.png归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得word/media/image33_1.png方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：word/media/image34_1.png和word/media/image35_1.png

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆word/media/image27_1.png的离心率是word/media/image36_1.png，方程word/media/image37_1.png是大于0的参数，word/media/image38_1.png的离心率也是word/media/image39_1.png 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

⑸若P是椭圆：word/media/image11_1.png上的点.word/media/image28_1.png为焦点，若word/media/image40_1.png，则word/media/image41_1.png的面积为word/media/image42_1.png（用余弦定理与word/media/image43.wmf可得）. 若是双曲线，则面积为word/media/image44_1.png.

word/media/image45_1.png二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：word/media/image46_1.png

⑴①双曲线标准方程：word/media/image47_1.png.

一般方程：word/media/image48_1.png.

⑵①i. 焦点在x轴上：

顶点：word/media/image49_1.png 焦点：word/media/image50_1.png 准线方程word/media/image51_1.png 渐近线方程：word/media/image52_1.png或word/media/image53.wmf

ii. 焦点在word/media/image8_1.png轴上：

顶点：word/media/image54_1.png. 焦点：word/media/image55_1.png. 准线方程：word/media/image56_1.png. 渐近线方程：word/media/image57_1.png或word/media/image58_1.png，参数方程：word/media/image59_1.png或word/media/image60_1.png .

②轴word/media/image61_1.png为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.

③离心率word/media/image62_1.png.

④准线距word/media/image63_1.png（两准线的距离）；通径word/media/image64.wmf.

⑤参数关系word/media/image65_1.png.

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程word/media/image66_1.png

（word/media/image28_1.png分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

word/media/image67_1.pngword/media/image68_1.png 构成满足word/media/image69_1.png word/media/image70_1.png

word/media/image71_1.png

⑶等轴双曲线：双曲线word/media/image72_1.png称为等轴双曲线，其渐近线方程为word/media/image73_1.png，离心率word/media/image74.wmf.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.word/media/image75_1.png与word/media/image76_1.png互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：word/media/image77_1.png.

⑸共渐近线的双曲线系方程：word/media/image78_1.png的渐近线方程为word/media/image79_1.png如果双曲线的渐近线为word/media/image80_1.png时，它的双曲线方程可设为word/media/image81_1.png.

word/media/image82_1.png例如：若双曲线一条渐近线为word/media/image83_1.png且过word/media/image84_1.png，求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程为：word/media/image85.wmf，代入word/media/image86_1.png得word/media/image87_1.png.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入word/media/image88_1.png法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线word/media/image89_1.png，则常用结论

1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

2：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n. 简证：word/media/image90_1.png = word/media/image91_1.png.

三、抛物线方程.

3. 设word/media/image92_1.png，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

注：①word/media/image119_1.png顶点word/media/image120_1.png.

②word/media/image121_1.png则焦点半径word/media/image122_1.png;word/media/image123_1.png则焦点半径为word/media/image124_1.png.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④word/media/image125_1.png（或word/media/image126_1.png）的参数方程为word/media/image127_1.png（或word/media/image128_1.png）（word/media/image129_1.png为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线word/media/image130_1.png的距离之比为常数word/media/image131_1.png的点的轨迹.

当word/media/image132_1.png时，轨迹为椭圆；当word/media/image133_1.png时，轨迹为抛物线；当word/media/image134_1.png时，轨迹为双曲线；当word/media/image135_1.png时，轨迹为圆（word/media/image136_1.png，当word/media/image137_1.png时）.

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

1. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.

2. 共渐近线的双曲线系方程.

四．导数及其应用

1、函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png从f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png到8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png的平均变化率：53d80be75c149a3ea2572690132aaab1.png

2、导数定义：ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数记作17f1956128df90b3903879887d50634b.png；．

3、函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在点0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png处的导数的几何意义是曲线f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在点6bf35e6a5ff7b39972f2a991a3e950cb.png处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①49645e0d661453622454a647729622a5.png4e0eea1bd7d6e46116f2b7fbbe8d4026.png；②d01b24b0218ad37a88f83084b9e1396b.png； ③de9f06e706b0ff78fafa52976ed2d565.png；④827e3c4b79a5c4b22175153ecf306f05.png；

⑤3501305a00a05fc7343dffc418d45ab9.png；⑥5b1c989e664c107467fb520e6161bfb3.png； ⑦a38cd1cea48a6f74f449de6723b38125.png；⑧c46b50ecd881ec2cdcf84ba057a8f648.png

5、导数运算法则：

51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png 7504f983809108457c174502ab0f7f25.png；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png 4fdd5d06491c86a9ed4c20343a0f138a.png；

9a435f7967e942663f0e9b2dc2c08bca.png429f0f64b485722c317dd1deaa3d8686.png．

6、在某个区间a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png内，若82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，则函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在这个区间内单调递增；

若ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，则函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在这个区间内单调递减．

7、求解函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png单调区间的步骤：

（1）确定函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的定义域； （2）求导数718103193c9c851a717b247707bd296a.png；

（3）解不等式85134dc2002461bd06bed652251023c2.png，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式7b283d6216f7811c8c6fadd22f86e1cd.png，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的极值的方法是：解方程01071e0cb8a0f4f22f4def25b108f0d5.png．当d2ffa86a0cf985426626063e4d657c35.png时：

51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png如果在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png附近的左侧82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，右侧ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，那么d808c228dde40b59415707695231da9e.png是极大值；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png如果在0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png附近的左侧ec329a2e6e725e343e248a7a56d580fc.png，右侧82ba1ab4d8827e260ef0f540d1922661.png，那么d808c228dde40b59415707695231da9e.png是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在b57515f693b44e149c68c64696ea7be4.png上的最大值与最小值的步骤是：

51fadace4482637a37d7ba4df5bd53b4.png求函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在a34bfef0821418830710e6da1c212c75.png内的极值；

cfab2bad8acd00a6340608423c935294.png将函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的各极值与端点处的函数值0532cfb6ec835290e65c066de0753775.png，c40844f615a13ba101dc3f0e81b0b562.png比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

五．数系的扩充和复数概念和公式总结

1.虚数单位865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png:它的平方等于-1，即 89d5f2fc0a920991be299d2adefd7345.png

2. 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png与－1的关系: 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png

3. 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png的周期性：865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png4n+1=i, 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png4n+2=-1, 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png4n+3=-i, 865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png4n=1word/media/image219_1.png

4.复数的定义：形如5c619b9026281d91f29928257df95df9.png的数叫复数，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png叫复数的实部，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png叫复数的虚部word/media/image219_1.png全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示word/media/image219_1.png　复数通常用字母z表示，即33c78ac8c369a076f3507ecc368ac2de.png

5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数5c619b9026281d91f29928257df95df9.png，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

word/media/image224.gif

5.复数集与其它数集之间的关系：Nword/media/image225.gifZword/media/image225.gifQword/media/image225.gifRword/media/image225.gifC.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等word/media/image219_1.png如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dice357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnga=c，b=dword/media/image219_1.png　

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小word/media/image219_1.png　当两个复数不全是实数时不能比较大小word/media/image219_1.png　

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴word/media/image219_1.png实轴上的点都表示实数word/media/image219_1.png

（1）实轴上的点都表示实数word/media/image219_1.png

（2）虚轴上的点都表示纯虚数word/media/image219_1.png

（3）原点对应的有序实数对为(0，0)

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，

8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

10.复数z1与z2的乘法运算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

11.复数z1与z2的除法运算律：z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)=01958ad7809aca4276554cdcc71a8036.png（分母实数化）

12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数word/media/image219_1.png虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数word/media/image219_1.png

通常记复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的共轭复数为d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png。例如fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png=3＋5i与d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png=3－5i互为共轭复数

13. 共轭复数的性质

（1）实数的共轭复数仍然是它本身

（2）ed584e83e994ef124cfd86861f22701c.png

（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称

14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论

word/media/image231.gif （1）3bd7c4d5e41298fd6c6c99cc9bbb3169.png，（2）62738c92ba0dae82dd61a3edc93eb6c8.png

（3）192f80bd25b61288aace6ed82def2ae5.png， （4） 049dbe96cf8904b58ad766b977298ec5.png

16.复数的模： （5） 802a9802639a3234c3c24e8be977ce64.png

复数68ac75957e932ab7e377a49e36307a3d.png的模99225c2dfff29837a3bcfd119c0bb293.png （6）72fc2f1fe998bc4039f3a113a7e11d71.png

高二数学下知识点