初中数学竞赛重要定理、公式及结论

代数篇

【乘法公式】

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，

平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，

立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3

多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）

…………

在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n (a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1

类似地：（a-b）(an-1+an-2b+an-3b2+…＋abn-2+bn-1)=an-bn

公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时

an-bn能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。

重要公式（欧拉公式）

(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc

【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：

f(x)=g(x)q(x)-r(x)

其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。

【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。

【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。

【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。

【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．

小于100的素数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．

性质 1 一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．

性质 2 如果n是合数，那么n的最小质因数 一定满足a2≤n．

word/media/image1_1.png性质 3 质数有无穷多个．

性质 4(算术基本定理)每一个大于 1 的自然数n，必能写成以下形式：

这里的P1，P2，…，Pr是质数，a1，a2，…，ar是自然数．如果不考虑P1，P2，…，Pr的次序，那么这种形式是唯一的．

性质 5 任何大于3的素数都可以表示为6k±1

【不定方程】

定理 1．二元一次不定方程 ax+by=c，，，

（1）若其中（a，b） c，则原方程无整数解；；

（2）若（a，b）=1，则原方程有整数解；；

（3）若（a，b）｜c，则可以在方程两边同时除以（a，b）从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．

定理 2：利用分解法求不定方程ax+by=cxy(abc≠0）整数解的基本思路：将ax+by=cxy转化为(x-a)(cy-b)=ab可分解.

【高斯函数】设x∈R，用[x]或int(x)表示不超过x的最大整数，并用{χ}表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。

任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{χ}（0≤{x}<1）

性质 1:[x]≤x<[x]+1， x-1<[x] ≤x [n+x]=n+[x]，n为整数

2:厄尔米特恒等式：

对任x大于0，恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+… …+[x+(n-1)/n]=[nx]。

【同余】定义 1 给定正整数m，若用m去除两个正整数a和 b所得的余数相同，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为

a≡b(mod m)，

此时也称b是a对模m的同余。

否则称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为a≢b (mod m)。

【完全平方数整除性】

（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9；

（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；

（3）奇数平方的十位数字是偶数；

（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；

（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0，1，4，7；

（6）平方数的约数的个数为奇数；

（7）任何四个连续整数的乘积加 1，必定是一个平方数。

（8）设正整数a，b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a，b）=1，则a，b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a，b，c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a，b，c……两两互素，则a，b，c……都是正整数的k次方幂。

【数的整除性】

（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0.

（2）若一个整数的末位是 0、2、4、6 或 8，则这个数能被 2 整除。

（3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。

（4）若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。

（5）若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。

（6）若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6 整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13-3×2=7 ，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被 8 整除，则这个数能被 8 整除。

（9）若一个整数的数字和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。

（10）若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。

初中数学竞赛重要定理公式（代数篇）