2018-2019 学年天津市西青区杨柳青三中九年级（上）期末数学

冲刺模拟试卷

一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）

1. 下列事件中必然发生的事件是（ ）

A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式

C．200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品

D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数

2. 在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后

随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 n 的值为（ ）

A．10 B．8 C．5 D．3 3．点 P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）

A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，3） D．（﹣3，﹣5） 4．下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ）

A． ＝﹣1 B．xy＝﹣ C．y＝x﹣p D．y＝ ﹣5

5. 下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. B．

C． D．

6. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A 的大小为（ ）

A．40° B．50° C．80° D．100°

7. 边长为 2 的正方形内接于⊙M，则⊙M 的半径是（ ）

A.1 B．2 C． D．

8. 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与⊙O 相切于点 D，过点 B

作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若⊙O 的半径为 4，BC＝6，则 PA 的长为（ ）

A．4 B．2 C．3 D．2.5

9. 同学们在学校小花园的一角种植了 M，P，Q 三种花，其所占的种植区域如图所示，∠

AOE＝90°，AB＝OB，CB∥OE，AB＝4m，则种植 M 花的面积为（ ）

B． πm2 C．16πm2 D．8πm2

10. 已知：如图为二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，则一次函数 y＝ax+b 的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

11. 如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，设道路的宽 x 米．则可列方程为（ ）

A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）＝540

C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540

12. 点 M（a，2a）在反比例函数 y＝的图象上，那么 a 的值是（ ）

A．4 B．﹣4 C．2 D．±2

二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）

13. 写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式： ．

14. 将▱ABCD（如图）绕点 A 旋转后，点 D 落在边 AB 上的点 D′，点 C 落到 C′，且点C′、B、C 在一直线上．如果 AB＝13，AD＝3，那么∠A 的余弦值为 ．

15．从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率是 ．

16. 一元二次方程 2x2﹣4x+1＝0 有 个实数根．

17. 正方形 ABCD 的边长为 2cm，以 A 为圆心 2cm 为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ； 点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A ．

18. 如图为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象， 下列说法正确的有 ．

①abc＞0；②a+b+c＞0；

③b2﹣4ac＜0

④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大；

⑤方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根是 x1＝﹣1，x2＝3．

三．解答题（共 7 小题）

19. 如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．

（1） 在图 1 中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；

（2） 在图 2 中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；

（ 3 ） 在 图 3 中 ， 画 出 △ ABC 绕 着 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90 ° 后 的 三 角形．

20．一次函数 y＝kx+b 的图象经过点 A（﹣2，12），B（8，﹣3）．

（1） 求该一次函数的解析式；

（2） 如图，该一次函数的图象与反比例函数 y＝（m＞0）的图象相交于点 C（x1，y1）， D（x2，y2），与 y 轴交于点 E，且 CD＝CE，求 m 的值．

21. 如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中， 牌面上的数字都是偶数的概率．

22. 如图，AB 是圆 O 的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长

PD 交圆的切线 BE 于点 E

（1） 判断直线 PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；

（2） 如果∠BED＝60°， ，求 PA 的长．

（3） 将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF，点 F 正好在圆 O 上，如图 2，求证： 四边形 DFBE 为菱形．

23. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据

市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天

就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．

（1） 求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；

（2） 求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3） 如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？

24. 如图，已知 AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45°，把△ADC 绕着点 D 逆时针旋转 45° 到△ADE，连接 BE，若 BC＝6cm．

（1） 求 BE 的长；

（2） 求四边形 BDAE 的面积．

25. 如图，点 A，B，C 都在抛物线 y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x 轴，

∠ABC＝135°，且 AB＝4．

（1） 填空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含 m 的代数式表示）；

（2） 求△ABC 的面积（用含 a 的代数式表示）；

（3） 若△ABC 的面积为 2，当 2m﹣5≤x≤2m﹣2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值．

参考答案

一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）

1. 【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；

B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；

C、200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；

D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误； 故选：C．

2. 【解答】解：∵在一个不透明的盒子里有 2 个红球和 n 个白球，这些球除颜色外其余完全

相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，

∴ ＝ ，

解得 n＝8． 故选：B．

3. 【解答】解：点 P（3，5）关于原点对称的点的坐标是9﹣3，﹣5），故选：D．

4. 【解答】解：A、该函数是一次函数，故本选项错误；

B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项正确； C、该函数不符合反比例函数的定义，故本选项错误； D、该函数不符合反比例函数的定义，故本选项错误． 故选：B．

5. 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B．

6. 【解答】解：∵OB＝OC

∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，

∴由圆周角定理可知：∠A＝ ∠BOC＝50° 故选：B．

7. 【解答】解：连接 OB，OC，则 OC＝OB，BC＝2，∠BOC＝90°，

在 Rt△BOC 中，OC＝． 故选：C．

8. 【解答】解：连接 DO，

∵PD 与⊙O 相切于点 D，

∴∠PDO＝90°，

∵∠C＝90°，

∴DO∥BC，

∴△PDO∽△PCB，

∴ ＝ ＝ ＝ ， 设 PA＝x，则＝ ， 解得：x＝4，

故 PA＝4． 故选：A．

9. 【解答】解：∵∠AOE＝90°，AB＝OB，CB∥OE，AB＝4m，

∴OC＝OA＝8m，∠AOC＝60°，

∴∠COE＝30°，

∴种植 M 花的面积为m2， 故选：A．

10【解答】解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在 y 轴左边，

∴a，b 同号，即 b＞0，

∴直线 y＝ax+b 不经过第四象限， 故选：D．

11【解答】解：设道路的宽为 x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．故选：B．

12【解答】解：∵点 M（a，2a）在反比例函数 y＝的图象上．

∴2a＝．

∴解得：a＝±2， 故选：D．

二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）

13【解答】解；设反比例函数解析式为 y＝，

∵图象位于第一、三象限，

∴k＞0，

∴可写解析式为 y＝， 故答案为：y＝ ．

14【解答】解：∵▱ABCD 绕点 A 旋转后得到▱AB′C′D′，

∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝13，

∵AB′∥C′D′，

∴∠D′AB′＝∠BD′C′，

∵四边形 ABCD 为平行四边形，

∴∠C＝∠DAB，

∴∠C＝∠BD′C′，

∵点 C′、B、C 在一直线上， 而 AB∥CD，

∴∠C＝∠C′BD′，

∴∠C′BD′＝∠BD′C′，

∴△C′BD′为等腰三角形，

作 C′H⊥D′B，则 BH＝D′H，

∵AB＝13，AD＝3，

∴BD′＝10，

∴D′H＝5，

∴cos∠HD′C′＝ ＝ ， 即∠A 的余弦值为．

15【解答】解：3 的倍数有 3，6，9，

则十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率是． 故答案为： ．

16．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，

∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8＞0，

∴此一元二次方程有两个实数根， 故答案为：两．

17【解答】解：∵正方形 ABCD 的边长为 2cm，A 为圆心，2cm 为半径；则 AB＝AD＝2cm，AC＝2＞2，

∴点 B 在圆上，C 点在圆外，D 点在圆上．

18【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴，

∴a＞0，﹣ ＞0，c＜0，

∴b＜0，

∴abc＞0，结论①正确；

②∵当 x＝1 时，y＜0，

∴a+b+c＜0，结论②错误；

③∵抛物线与 x 轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，结论③错误；

④∵抛物线与 x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线 x＝1．

∵抛物线开口向上，

∴当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，结论④正确；

⑤∵抛物线与 x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），

∴方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根是 x1＝﹣1，x2＝3，结论⑤正确． 故答案为：①④⑤．

三．解答题（共 7 小题）

19【解答】解：（1）如图所示，

△DCE 为所求作

（2） 如图所示，

△ACD 为所求作

（3） 如图所示

△ECD 为所求作

20．【解答】解：（1）把点 A（﹣2，12），B（8，﹣3）代入 y＝kx+b

得：

解得：

∴一次函数解析式为：y＝﹣

（2）分别过点 C、D 做 CA⊥y 轴于点 A，DB⊥y 轴于点 B

设点 C 坐标为（a，b），由已知 ab＝m

由（1）点 E 坐标为（0，9），则 AE＝9﹣b

∵AC∥BD，CD＝CE

∴BD＝2a，EB＝2（9﹣b）

∴OB＝9﹣2（9﹣b）＝2b﹣9

∴点 D 坐标为（2a，2b﹣9）

∴2a•（2b﹣9）＝m 整理得 m＝6a

∵ab＝m

∴b＝6

则点 D 坐标化为（2a，3）

∵点 D 在 y＝﹣图象上

∴a＝2

∴m＝ab＝12

21【解答】解：画树状图为：

共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为 2， 所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝ ＝ ．

22【解答】（1）解：直线 PD 为⊙O 的切线

证明：如图 1，连接 OD，∵AB 是圆 O 的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠ADO+∠BDO＝90°，

又∵DO＝BO，∴∠BDO＝∠PBD

∵∠PDA＝∠PBD，∴∠BDO＝∠PDA

∴∠ADO+∠PDA＝90°，即 PD⊥OD

∵点 D 在⊙O 上，∴直线 PD 为⊙O 的切线．

（2）解：∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA＝90°

∵∠BED＝60°，∴∠P＝30°

∵PD 为⊙O 的切线，∴∠PDO＝90° 在 Rt△PDO 中，∠P＝30°，

∴ ，解得 OD＝1

∴

∴PA＝PO﹣AO＝2﹣1＝1

（3）（方法一）证明：如图 2，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠PAD＝∠DAF

∵∠PDA＝∠PBD∠ADF＝∠ABF

∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF

∵AB 是圆 O 的直径∴∠ADB＝90°

设∠PBD＝x°，则∠DAF＝∠PAD＝90°+x°，∠DBF＝2x°

∵四边形 AFBD 内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF＝180° 即 90°+x+2x＝180°，解得 x＝30°

∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF＝30°

∵BE、ED 是⊙O 的切线，∴DE＝BE，∠EBA＝90°

∴∠DBE＝60°，∴△BDE 是等边三角形．

∴BD＝DE＝BE

又∵∠FDB＝∠ADB﹣∠ADF＝90°﹣30°＝60°∠DBF＝2x°＝60°

∴△BDF 是等边三角形．∴BD＝DF＝BF

∴DE＝BE＝DF＝BF，∴四边形 DFBE 为菱形

（方法二）证明：如图 3，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠APD＝∠AFD，

∵∠PDA＝∠PBD，∠ADF＝∠ABF，∠PAD＝∠DAF，

∴∠ADF＝∠AFD＝∠BPD＝∠ABF

∴AD＝AF，BF∥PD

∴DF⊥PB∵BE 为切线∴BE⊥PB

∴DF∥BE

∴四边形 DFBE 为平行四边形

∵PE、BE 为切线∴BE＝DE

∴四边形 DFBE 为菱形

23．【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]

＝（x﹣50）（﹣5x+550）

＝﹣5x2+800x﹣27500，

∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，

∵a＝﹣5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线 x＝80，

∴当 x＝80 时，y 最大值＝4500；

（3）当 y＝4000 时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000， 解得 x1＝70，x2＝90．

∴当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元．

24．【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的中线，

∴BD＝CD＝ BC＝ ×6＝3cm，

∵∠ADC＝45°，△ADC 绕着点 D 逆时针旋转 45°到△ADE，

∴AD＝BD＝DE，∠CDE＝45°+45°＝90°，

∴△BDE 是等腰直角三角形，

∴BE＝ BD＝3 cm；

（2）S 四边形 BDAE＝S△BDE+S△ADE，

＝ ×3×3+×3×（3×），

＝ cm2．

25．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，

∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．

（2） 过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示．

∵AB∥x 轴，且 AB＝4，

∴点 B 的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．

∵∠ABC＝135°，

∴设 BD＝t，则 CD＝t，

∴点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．

∵点 C 在抛物线 y＝a（x﹣m）2+2m﹣5 上，

∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5， 整理，得：at2+（4a+1）t＝0，

解得：t1＝0（舍去），

∴S△ABC＝ AB•CD＝﹣ ．

（3） ∵△ABC 的面积为 2，

∴﹣ ＝2， 解得：a＝﹣ ，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 分三种情况考虑：

①当 m＞2m﹣2，即 m＜2 时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2， 整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；

②当 2m﹣5≤m≤2m﹣2，即 2≤m≤5 时，有 2m﹣5＝2，

解得：m＝ ；

③当 m＜2m﹣5，即 m＞5 时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2， 整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10﹣2 （舍去），m4＝10+2 ． 综上所述：m 的值为 或 10+2 ．

2018-2019学年天津市西青区杨柳青三中九年级（上）期末数学冲刺模拟试卷（WORD版解答）